Nichtlineares Gleichungssystem

Question

hat einer eine Idee hierzu?

b₁ + b₂ = 2 π

b₁c₁ +  b₂c₂ = 0

b₁(c₁)²+  b₂(c₂)^{2 =} 2/3 π

b₁(c₁)³+  b₂(c₂)³ = 0

4 reelle Unbekannte und 4 Gleichungen. Aber egal, wie ich anfange, die Rechnungen werden sehr unübersichtlich. Hat jemand einen Vorschlag?

Gruß

Answer 1

-  keine der 4 unbekannten ist 0 (durchgehen per Fallunterscheidung.)

- Damit $$b_1=-b_2\frac{c_2}{c_1}=-b_2(\frac{c_2}{c_1}) ^3\text{  also   } \frac{c_2}{c_1} =\pm 1$$

- Es kann nur c₂= -c₁ gelten.

Answer 2

$$  a + b = 2 \,\pi $$
$$a \cdot u +  b \cdot v = 0 $$
$$a \cdot u^2 +  b \cdot v^2 = \frac23 \pi $$
$$a \cdot u^3 +  b \cdot v^3 = 0 $$
---
$$   b = 2 \,\pi -a $$
$$  v = - \frac{a \cdot u }{b}$$
$$a \cdot u^2 +  b \cdot \left(- \frac{a \cdot u }{b}\right)^2 = \frac23 \pi $$
$$a \cdot u^3 +  b \cdot \left(- \frac{a \cdot u }{b}\right)^3 = 0 $$
---
$$   b = 2 \,\pi -a $$
$$a \cdot u^2 +   \left( \frac{a^2 \cdot u^2 }{b}\right) = \frac23 \pi $$
$$a \cdot u^3 -   \left( \frac{a^3 \cdot u^3 }{b^2}\right) = 0 $$
---
$$   b = 2 \,\pi -a $$
$$u^2 \cdot     \left(a+ \frac{a^2  }{b}\right) = \frac23 \pi $$
$$ u^3  \cdot  \left( a-\frac{a^3  }{b^2}\right) = 0 $$
$$\cdots$$

Comments

$$\cdots$$

$$  a-\frac{a^3  }{b^2} = 0 $$
$$  a-\frac{a^3  }{(2 \,\pi -a)^2} = 0 $$
$$  a \cdot (2 \,\pi -a)^2-a^3  = 0 $$
$$  a \cdot 2 \,\pi -a^3-a^3  = 0 $$
$$  a \cdot 2 \,\pi -2 \cdot a^3  = 0 $$
$$  a \cdot  \,\pi -a^3  = 0 $$
$$  a \cdot  (\pi -a^2)  = 0 $$
$$  a_1  = 0 $$
$$  \pi -a_{2,3}^2  = 0 $$
$$  a_{2,3}^2  =  \pi $$
$$  a_{2,3}  =  \pm \sqrt\pi $$

Answer 3

Nummerierung der gegebenen Gleichungen in der gegebenen Reihenfolge.

Keine der Unbekannten ist 0 (Einsetzen ergibt jeweils Widerspruch).

[1]  ->  b₂ = 2π - b₁         [5]

[4] -> b₁ c₁³ = - b₂ c₂³   [6]

[2] -> b₁ c₁  =- b₂ c₂       [7]

[6] : [7] ->  c₁² = c₂²        [8]

[5], [8]  in [3] ->   b₁ c₁² + (2π -b₁) c₁² = 2/3 π  -> c₁² = c₂² = 1/3  [9]

1.Fall: c₁ = c₂

in [2] ->  b₁ c₁ + (2π - b₁) c₁ = 2/3π  Widerspruch!

2.Fall: c₁ = - c₂ , (wegen der Symmetrie der Gleichungen o.B.d.A.) also  c₁ = 1/3 √3 und c₂ = -1/3 √3

c₁ , c₂ in [2] ->    b₁ c₁ - (2π - b₁) c₁ = 0

->  b₁ = π,   [5]  -> b₂ = π

Lösung: b₁ = b₂ = π , c₁ = 1/3 √3 , c₂ = -1/3 √3  (oder umgekehrt)

 

Comments

danke für deine Antwort!

Angenommen, ich hätte bei einem ähnlichen Gleichungssystem bei Fall 2 einen Widerspruch, und bei Fall 1 keinen, also c1=c2.

Woher weiß man dann, welches Vorzeichen beide c haben?

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Beide Fälle getrennt betrachten.