Verständnisfrage zum Gauß-Verfahren

Question

ich habe mal eine Verständnisfrage zum Gauß-Algorithmus. Ich zwar kann ich einfache LGS (3 Gleichungen mit 3 Unbekannten, [Nullen unter der Hauptdiagonale]) problemlos mit dem Gauß-Algorithmus lösen, dann hört es bei mir aber auf. Mein Problem ist einfach, dass ich nicht genau weiß, wieviele Ziffern genau 0 werden müssen.  Gegeben habe ich folgende Aufgabe:
 2w+x=4
4w+4x+2y-2z=12
2w+2x=6
2w+2x+y-z=6
Wenn ich jetzt wieder dem Prinzip des "3*3 LGS" folgen würde, so wäre mein Ziel, folgende Zahlen zu 0en zu "machen": 4, 2, 2, 2, 2, 1. Also die Zahlen unterhalb der Hauptdiagonale. Kann das sein?
Und wie würde ich das bei 'nem LGS machen, bei dem ich 3 Gleichungen und 5 unbekannte habe?
Dankeschön!!!!

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Hier im Wissensblock und im ersten Video habe ich erklärt, warum Gauß funktioniert und welche "Mechanismen" dahinterstecken: https://www.matheretter.de/wiki/gaussverfahren

Answer 1

2·w + x = 4

4·w + 4·x + 2·y - 2·z = 12

2·w + 2·x = 6

2·w + 2·x + y - z = 6

Gleichung 1 und 3 bilden ein LGS mit 2 Gleichungen und zwei unbekannten. Das kann man zunächst Lösen. Dann w und x in die anderen beiden Gleichungen einsetzen und auch das lösen. Probierst du es mal.

Als Lösung habe ich x = 2 ∧ w = 1 ∧ y = z

Kannst ja mal kontrollieren ob ich das richtig sehe.

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Danke :-)Deine Lösung stimmt natürlich, hab's eben nachgerechnet.Aber so richtig hast du meine Frage noch nicht beantwortet, glaube ich. In der Aufgabenstellung steht explizit dass die Aufgabe Mittels Gauß-Algorithmus gelöst werden soll.......

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Wende den Gauß einmal auf

2·w + x = 4 

2·w + 2·x = 6 

an. Dann setzt du ein und wendest ihn nochmals an. Du kannst das auch in einer Matrix machen. Ist aber unübersichtlicher

[2,1,0,0,4]
[4,4,2,-2,12]
[2,2,0,0,6]
[2,2,1,-1,6]

II - 2*I ; III - I ; IV - I

[2, 1, 0, 0, 4]
[0, 2, 2, -2, 4]
[0, 1, 0, 0, 2]
[0, 1, 1, -1, 2]

Jetzt könnte man zeilen tauschen. Ignorier ich aber mal.

2*III - II ; 2*IV - II

[2, 1, 0, 0, 4]
[0, 2, 2, -2, 4]
[0, 0, -2, 2, 0]
[0, 0, 0, 0, 0] Diese Zeile Fällt raus und hinterlässt einen Freiheitsgrad.

Nun kann man rückwärts das System auflösen.

y = z

2x + 2z - 2z = 4 --> x = 2

2w + 2 = 4 --> w = 1