Es ist wirklich ein Trick.
Nach 2-facher part. Integration bekommst Du u. a den Ausdruck
-k2 int (e-x cos(kx)) dx
Dieses Integral mußt Du auf beiden Seiten addieren.
Dann bekommst Du:
int (e-x cos(kx) + k2 *int e-x *cos(kx) dx
jetzt klammerst Du( 1 +k2) aus und teilst auf beiden Seiten durch diesen Ausdruck:
Ergebnis:
(e-x (k*sin(kx) -cos(kx))/(k2+1) +C