Es ist wirklich ein Trick.
Nach 2-facher part. Integration bekommst Du u. a den Ausdruck
-k^2 int (e^{-x} cos(kx)) dx
Dieses Integral mußt Du auf beiden Seiten addieren.
Dann bekommst Du:
int (e^{-x} cos(kx) + k^2 *int e^{-x} *cos(kx) dx
jetzt klammerst Du( 1 +k^2) aus und teilst auf beiden Seiten durch diesen Ausdruck:
Ergebnis:
(e^{-x} (k*sin(kx) -cos(kx))/(k^2+1) +C