Volumen als Aneinanderreihung von Flächen darstellbar? (Zylinder)

Question

Für die Einführung zu den Zylindern möchte ich das Volumen mit Formel: V = G·h so darstellen, dass man die Grundfläche übereinander stapelt, bis sie die gegebene Höhe erreicht:

Hier frage ich mich, ob das mathematisch korrekt ist.

Vorgebrachtes Gegenargument: "Man kann Flächen nicht einfach aufaddieren zu einem Volumen. Grund: Flächen haben die Höhe 0 und 0 mal so viel man will, ist immer noch 0."

Wie könnte ich es korrekt erläutern? Integralrechnung kann ich an der Stelle ja nicht anbringen, die Schüler sind zu jung.

Soll ich ggf. sagen, es sei eine Eselbrücke?

Danke für eure Ratschläge,
Kai

Comments

Flächen kennen keine Höhen.
Einheit A = cm^2
Gestapelt : cm^2 + cm^2 + cm^2 ergibt cm^2, also kein Volumen
Du stapelst bereits Volumina auf.

Dann kannst du auch den Ausdruck " Scheiben mit der Höhe 1 "
verwenden.
Diese Formulierung und die bewegte Grafik sollten als
Erklärung genügen.

Formulierung : " Um das Volumen zu bestimmnen muß ich so viel Scheiben
mit der Höhe 1 aufeinanderlegen  wie die Höhe beträgt  und das Volumen berechnet
sich zu V = Grundfläche mal Höhe ".

mfg Georg

Answer 1

Vielleicht könntest du ja sagen:

Ich stapele dünne Scheiben ( etwa von 1 mm Dicke ) und brauche dann

genau so viele Scheiben, wie die Höhe in mm beträgt.

Wenn ich Scheiben von 1 cm Dicke nehme, brauche ich immer so viele

Scheiben wie die Höhe in cm beträgt. Also allgemein G*h.

Comments

Ich möchte ja auf die Formel V = G·h schließen. Das Problem mit der "Scheibe" ist jedoch, dass ich damit voraussetze, dass sich das Scheibenvolumen über G·h bzw. G·(1 mm) ergibt.

Aber ich möchte ja zeigen, weshalb h mit G in Multiplikation das Volumen ergeben, ohne die Formel vorauszusetzen. Deshalb hatte ich in meiner ersten Version davon gesprochen, die "Fläche G" übereinander zu stapeln (obwohl diese ja keine Höhe hat).

Vielleicht sage ich dann wirklich: "Die Höhe der Scheibe ist unendlich klein, sodass sie der Grundfläche entspricht. Wie viele Scheiben brauchen wir? Richtig, so viele wie die Höhe hoch ist."

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Ich möchte ja auf die Formel V = G·h schließen. Das Problem mit
der "Scheibe" ist jedoch, dass ich damit voraussetze, dass sich das
Scheibenvolumen über G·h bzw. G·(1 mm) ergibt.

Dein Problem ist klar.
Darüber hatte ich früher auch schon nachgedacht.
Man muß Flächen und Volumen erst DEFINIEREN
und kann dann Rechenregeln aufstellen.

Eine Länge ist etwas Eindimensionales und hat eine Ausdehung in
nur 1 Richtung des Raums.

Eine Fläche hat Ausdehnungen in 2 Richtungen Raumes.
Eine Fläche mit den Ausdehnungen 3 und 4 kann aufgeteilt werden
in 12 ( 3 * 4 ) Flächeneinheiten zu 1 cm^2. Durch die Zeichnung eines
Raster z.B. an einer Tafel wird dies schnell klar.

Ein Volumen wird definiert durch Ausdehungen in allen 3 Dimensionen
des Raumes  mit Länge, Breite und Höhe ( x,y,z - Richtung ).
Die Rechenregeln kannst du gut mit (d)einer Animation erklären.

Die ganzen Erklärungen hören sich ziemlich beknackt an.
Ich würde die Kinder nicht damit behelligen.
Die Rechenregeln für Fläche und Volumen lassen sich an Beispielen
schnell und plastisch erklären.

mfg Georg

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Ich denke, dass man naiv definieren würde:

Das Volumen (in mm^3) ist die Anzahl der Kubikmillimeterwürfelchen, die

brauche, um den Körper genau auszufüllen. Und wenn ich vorher bei der

Fläche gesagt habe: Anzahl der Millimeterquadrate, dann ist bei der Höhe 1 diese

Anzahl genauso groß wie die Anzahl der Würfel für das Volumen.

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Schaut bitte einmal hier in den Videoausschnitt: 

Ich bin jetzt einfach mit der Erklärung über das bekannte Wissen beim Quader gegangen. Dort hatte ich das Volumen sehr verständlich erläutert (mit Würfel je 1 cm³ Volumen).

Sollte doch so okay sein für Schüler?!

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Findet meine Zustimmung.
mfg Georg

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allerdings würde ich dann beim Beispiel Quader das in der Formel auch so aufschreiben,

dass  durch die ersten beiden Faktoren die Grundfläche und mit dem 3. Faktor die Höhe

gemeint ist:           3m*4m*2m

Dann passt es besser zu deinem Text.

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Vielen Dank euch beiden!

@mathef: Ja, ich blende über dem Quader statt "V = 3 m * 2 m * 4 m" dann besser "V = G * h" ein.

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dann aber auch mit den konkreten Zahlen (darüber oder darunter)

Answer 2

Du könntest auch das Prinzip von Cavalieri benutzen. Da steht auch ein Anwendungsbeispiel für Zylinder dabei. Man kann das auch für andere Körper benutzen, z.B. schiefe Zylinder, gerade/schiefe Prismen, Kugeln, ...

Es würde auch noch einen Weg über Integralrechnung geben, aber ich glaube, das führt für ein Einführungsvideo zu Zylindern zu weit.