Epsilon-Umgebung und Konvergenz

Question

Nabend,

könntet ihr mal einen Blick drauf werfen und sagen, ob die Rechnung und die Lösung richtig sind? Danke :)

Die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie mit Hilfe der Definition für die Konvergenz einer Folge, dass die Folge (1/(2n+1)) gegen Null konvergiert.

Ab welchem Index sind die Folgenglieder kleiner als Epsilon :=10^{-2}

Answer 1

Du musst die Gleichung nach ε auflösen !

Dann erhältst du ein von n abhängiges n(ε).

Die Zahl ε verändert sich mit wachsendem n:

" Für jedes n gibt es ein ε>0 ...."

Comments

Aber ε war doch schon gegeben, ε = 10^{-2 }

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Du sollst aber den allgemeinen Fall zuerst betrachten. Also zuerst das Epsilon überall stehen lassen und dann exemplarisch den angegebenen Wert einsetzen.

Also du hast das ja auch schon gemacht, nur du könntest den allgemeinen Fall vlt. etwas deutlicher absetzen. Also einen Punkt machen, eine Zeile frei und dann den konkreten Wert einsetzen.
Ist aber schon alles richtig.

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Siehe auch anderer Kommentar, um es sauber zu machen müsste man mit deinem zu einem \(\varepsilon >0\) errechneten n anfangen und zeigen, dass die Ungleichung erfüllt ist. Aber das hast du ja wahrscheinlich bei der ersten Aufgabe auch so gemacht.

Answer 2

Ja richtig, da n eine natürliche Zahl ist, wäre es schöner, ,,für alle \(n \ge 50\)'' zu schreiben, aber so wie du es gemacht hast, ist es auch richtig.

edit: Wobei das wie bereits angemerkt wurde die erste Aufgabe nicht beantwortet

Comments

Die erste Aufgabe hatte ich bereits gelöst, es ging eigentlich nur um den zweiten Teil,

Dankeschön!

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Na dann passt ja alles :)

Ich korrigiere übrigens: du hast ja das Epsilon erst am Ende eingesetzt, also ist die erste Aufgabe da schon auch gleich mitbeantwortet.

In dem Fall berechnet man sich das n zum Epsilon aber in der Regel zuerst und zeigt dann, dass dieses Epsilon die Ungleichung erfüllt. Macht also deine Schritte rückwärts.

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Ich überlege nun seit einigen Minuten, weiß aber immer noch nicht wie man das 'n zum ε' ermittelt um zu zeigen, dass die Ungleichung gilt.

Also erstmal

1/ (2n_ε +1) < ε

-> nach n_ε umstellen

-> ε einsetzen, und zeigen, dass die Ungleichung erfüllt ist?

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Ja, wobei du den Schritt mit dem "nach \(n_\varepsilon\) umstellen" nicht in die Lösung schreibst, sondern anfängst mit: Sei \(\varepsilon > 0\) und \(n_\varepsilon:=\frac{1/\varepsilon-1}{2}\). Dann gilt für alle \(n > n_\varepsilon\)...und zeigst dann eben, dass die Ungleichung erfüllt ist, d.h. es kommt sowas wie \(... < \varepsilon \) am Schluss. Wobei ... das ist, was bei dir oben in der 2. Zeile des Bildes auf der Linken Sete steht.