Hyperbelfunktion und Iterationsverfahren von Newton

Question

Also ich habe folgendes Problem

Ein zwischen zwei gleich hohen Masten aufgehängtes Seil lässt sich durch die Gleichung der kettenlinie y=a*cosh(x/a) beschreiben. Wie groß ist die Konstante a wenn bei einem Trägerabstand von 100 m der Seildurchhang 12 m beträgt? Berechnen sie a mithilfe des Iterationsverfshrens von Newton auf 3 Dezimalstellen.

Ich kann das Iterationsverfahren normalerweise aber ich dachte damit berechnet man Nullstellen!? Also dass man x berechnen kann

Vielen dank!

Answer 1

du musst zuerst die entsprechende Gleichung aufstellen und nach Null auflösen, dann suchst du ja auch nach der Nullstelle einer Funktion. In deinem Beispiel konkret:

Approximiere die Nullstelle von

$$ g(a) = a \cosh \left( \frac{50}{a} \right) - a -12 $$

mit dem Newton-Verfahren.

Gruß

Comments

Wenn ich dann aber den passenden anfangswert mittels einer wertetabelle suchen will ist um die stelle a=0 wo der wert springt von minus auf plus ( also nullstelle) nur error also ist die funktion an der stelle nicht definiert also hab ich keinen gescheiden anfangswert

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Wer sagt, dass du bei a=0 anfangen sollst, aus der Funktion geht ja schon hervor, dass sie dort nicht definiert ist.

Und bis wohin geht deine Wertetabelle? Versuchs mal mit nem \(a\) zwischen 100 und 120.

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Ohja super der gesuchte wert liegt zwischen 100-120. Wie bist du darauf gekommen dass der da sein muss?

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Ich hab am Anfang einfach geschätzt und mit nem Online-Rechner überprüft.

Answer 2

Leicht verwirrend ist, dass die angegebene Gleichung nicht wie sonst bei f(0) also links beginnt.

sondern f(0) der Mittelpunkt (Tiefpunkt) des Seils sein soll.

Weiterhin gibt der Funktionswert f(x) die Höhe an, und das ist bei x=0 der Wert f(0)=a.

Gesucht ist aber der Durchhang -> also Differenz:

12=a*cosh(50/a) -a

da hier x konst. und Variable a gesucht -> wird folgende Null-Funktion daraus:

0 = x*cosh(50/x) -x-12

per Iterationsrechner Beispiel 118 eine Kleinigkeit:

http://www.lamprechts.de/gerd/Roemisch_JAVA.htm#x*cosh(50/x)-x-12@Na=0;@B0]=50;//Startwert@Nb=@Bi];a=@Bi+1]=b-Fx(b)/@Lb);@N@Aa-b)%3C4e-8@N1@N0@N#