Beweis der Formel von Kombinationen mit Wiederholung

Question

Ich habe die Aufgabe die Formel von Kombinationen mit Wiederholungen zu beweisen, wobei ich es nicht mit vollständiger Induktion beweisen darf.

Formel:

[n+k-1] über k

Answer 1

Wir haben n ( = 5) Getränke und können uns damit Kisten mit k (= 12) Plätzen füllen. Die Frage ist wie viel Möglichkeiten habe ich.

Ich nehme mal die 5 verschiedenen Getränke

Coca Cola | Fanta | Sprite | Mezzo Mix | Bonaqa

und jetzt nehme ich mir 12 Fläschen

* * * * * * * * * * * *

Eine Zuordnung könnte also so aussehen

* * * | * * * | * * * | * * | *

Das würde bedeuten 3 x Coca Cola, 3 x Fanta, 3 x Sprite, 2 x Mezzo Mix, 1 x Bonaqa

Nun ist die Frage wie viel Möglichkeiten habe ich die 12 Flaschen (*) und die 4 Sortentrennen (|) zu plazieren.

Das ist einfach das sind (k + n - 1)! / (k! * (n - 1)!). Dieses ist jetzt aber genau der Binomialkoeffizient. (k + n - 1 über k).

Beweis vollbracht.

Comments

Aber hier beweist man es ja mit einem Beispiel, das heisst aber nicht dass es für alle anderen Aufgaben stimmt oder sehe ich etwas nicht?!

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Ich beweise das hier allgemein mit k und n und nebenher beispielhaft damit du dir das vorstellen kannst.

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Lieber Mathecoach, dein Beweis leuchtet ein. Allerdings habe ich eine Frage:

Angenommen wir haben 10 Kugeln mit den Nummern 1-10.

Wir wollen nun 6 Kugeln nacheinander mit zurücklegen entnehmen. Dabei kommt es uns nicht auf die Reihenfolge der Kugeln an.

Wieso ist die Anzahl der Möglichkeiten jetzt nicht: 10^6/6! !?

Im Zähler wäre die Menge an Möglichkeiten aus 10 Kugeln 6 mit Zurücklegen auszuwählen. Ich habe 6! Möglichkeiten die 6 Kugeln anzuordnen. Da es nicht auf die Reihenfolge ankommt, teile ich durch 6!.

Wo liegt der Fehler?

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Zur Ziehung

1, 1, 1, 1, 1, 1

also bei der du 6 mal die erste Kugel ziehst gibt es keine andere Reihenfolge.

Zur Ziehung

1, 2, 3, 4, 5, 6

bei der du 6 verschiedene Kugeln ziehst gibt es allerdings 6! verschiedene Reihenfolgen.

Wir dürfen also nicht grundsätzlich durch 6! teilen weil es in vielen Ziehungen nicht 6! Anordnungen gibt.