Alpha bestimmen, damit die Funktion stetig ist

Question

ich versuche folgende Aufgabe lösen;

Gegeben sei α ∈ ℝ und die Funktion f: ℝ→ℝ definiert mittels:

              

                    -x^2                 für x ≤ 0

  f(x) =  {      α(cos(x)-1)    für 0< x ≤ π     }

                   -1                    für  x >  π

a) Für welche Zahl  α ∈ ℝ ist die Funktion f auf  ℝ stetig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Kritische Stellen: X = 0 und X = π

Für X = 0

lim x->0, x<0 = lim x->0, x>0

dafür müssen wir die Teilfunktion α(cos(x)-1) gleich Null setzen und nach α umstellen.

 α(cos(0)-1) = 0
               α = 0 / (cos(0)-1)

                     => Kein Grenzwert

Für X = π

lim x->π, x<π = lim x->π, x>π

          α(cos(x)-1) = -1
                       α  = - 1 / (cos(π)-1)
                       α  = - 1 / (-1 - 1)
                       α  =  1/2
                         

Ist Alpha = 1/2 die richtige Antwort? Und wie kann man das begründen?

Vielen Dank und euch schon mal ein schönes Wochenende! :)

Answer 1

α = 1/2 ist die richtige Antwort. Das ist der einzige Wert damit die Funktion an der Stelle x = pi stetig ist. Das hast du ja sogar ausgerechnet. Das langt als Begründung.