Stetigkeit: Wert a bestimmen, damit f im Intervall auch noch stetig ist.

Question

ich komme bei einer Matheaufgabe nicht weiter. Wir hatten sie in einer Klausur und konnte sie nicht lösen. Jetzt zu Hause komme ich leider immer noch nicht auf die richtige Lösung.

Und zwar ist gegeben:  f(x)= (1/8)x^3 - 2 für -4 <= x <= 2,  und  ax-(1/x^2) für 2 <= x <= 4

So nun muss zuerst a bestimmt werden und zwar so, dass die folgende Funktion überall im Intervall [-4;4] stetig ist.

Ich habe in die zweite angegebene Funtkion die Grenzen 2 und 4 eingesetzt und aufgelöst. Jeweils hatte ich das Ergebnis 1/8 und 1/64 raus. Nun dachte ich, dass ich eines der Ergebnisse als a verwenden kann?

Ist dies jedoch auch richtig? Oder ist dieser Ansatz schon völlig falsch? Kann a auch so einfach ausgewählt werden? Oder ist dies dann nicht mehr Stetig?

Und noch eine weitere Frage: Berechnet man nun das Integral von S:=∫[-4;4]f(x)dx und erhält nun S. Kann man dann dieses S für ein beliebiges a berechnen?

Dankeschön schonmal. :)

Answer 1

Hier meine Berechnung

für a = -3/ 8 ist die Funktion stetig.

Comments

Zur Sicherheit rechne die stetige Funktion.
Also von -4 bis 2  und dann von 2 bis 4

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Dankeschön! :)

Hätte man auch die 4 anstatt der 2 in die erste Funktion einsetzen können? Dann würde a= 97/64 rauskommen.  Oder woran erkenn ich dann was ich nehmen muss? :)

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Die Stetigkeit wird für die Schnittstelle bei x = 2 gefordert. Also

1/8 * x^3 -2 = a * x - 1 / x^2 und wäre für x = 2
1/8 * 2^3 -2 = a * 2 - 1 / 2^2

a ergibt sich zu -3/8

Answer 2

Und zwar ist gegeben:  f(x)= (1/8)x³ - 2 für -4 <= x <= 2,  und  ax-(1/x²) für 2 <= x <= 4

So nun muss zuerst a bestimmt werden und zwar so, dass die folgende Funktion überall im Intervall [-4;4] stetig ist.

Ich habe in die zweite angegebene Funtkion die Grenzen 2 und 4 eingesetzt und aufgelöst. Jeweils hatte ich das Ergebnis 1/8 und 1/64 raus. Nun dachte ich, dass ich eines der Ergebnisse als a verwenden kann? 

Du musst dafür sorgen, dass das Einsetzen von x=2 bei beiden Funktionstermen gleich viel gibt. x=4 einsetzen bringt nichts. Stückweise definierte Funktionen müssen nur an der Stelle übereinstimmen, wo sie zusammengefügt werden müssen.

(1/8)2³ - 2 = 1-2 = -1 = 2a - 1/4 

-3/4 = 2a

-3/8 = a

Und noch eine weitere Frage: 

Berechnet man nun das Integral von S:=∫[-4;4]f(x)dx und erhält nun S. Kann man dann dieses S für ein beliebiges a berechnen?

Das S rechnest du so: (Du musst die Definition befolgen.)

S:=∫[-4;4]f(x)dx

=∫[-4;2]1/8 x^3 dx +  ∫[2;4] ax - 1/x^2 dx

ob du a = -3/8 einsetzen darfst, liegt an der wörtlichen Formulierung der Aufgabe.