Für 3a)
Was du zeigen musst:
1. Monotonie
2. Beschränktheit
3. Grenzwert bestimmen
Wobei 2. bereits die erste Teilaufgabe ist.
1. Erstmal machen wir uns anhand von ein paar Funktionswerten klar, ob die folge eventuell steigend oder fallend ist.
n= 1: 1/4
n=2 : 3/8 = 0,375
n=3 : 15/64 = 0,234
n= 4 : 0,179
Wir vermuten jetzt also, dass die Folge fallend ist, ab n= 2
Betrachte des Verhältnis von xn und xn+1 in etwa so:
xn+1 = xn *(1- xn) < xn
Genau das wollen wir zeigen. Formen wir um:
xn *(1- xn) < xn | :xn ( hier gehen wir aus, dass xn größer als 0 ist.
1-xn<1 | +xn
1< 1+ xn | -1
0 < xn
Wir erhalten eine wahre Aussage. Die Folge ist als monoton fallend.
2. Beschränktheit zeigt man häufig per Induktion.
n= 1: 1/4 => Aussage stimmt
n+1: xn * (1-xn)
xn liegt im Intervall [0,1/2] und ist damit kleiner als 1/2. (1-xn) ist damit kleiner als 1. => Das Produkt ist kleiner als 1/2 * 1 => Aussage stimmt.
3.(bei diesem Schritt bin ich mir gerade selber etwas unsicher)
Es muss nun also gelten xn = xn+1, ab genügend grpßem n, da die Folge ja konvergiert.
WIr nehmen an, dass der Grenzwert 0 ist.
Wir wissen, dass eine monotone beschränkte Funktion einen Grenzwert hat.
Wenn wir also den möglichen Grenzwert einsetzen, so müssen wir auch wieder den selben Wert als Funktionswert erhalten.
Sei xn= 0 => xn+1 = 0 * (1-0) = 0 ==> xn = xn+1
Den letzten Schritt kann man glaube ich auch irgendwie mit gleichsetzen vollziehen, weiß aber gerade nicht mehr genau wie das ging.
Hinweis: Die Induktion habe ich nur STICHPUNKTARTIG gemacht.
