Rekonstruktion bzw. Steckbriefaufgaben

Question

Der Graph der ganzrationalen Funktion vierten Grades ist symmetrisch zu y-Achse, geht durch den A(0/2) und hat in B(1/0) ein Minimum.

bitte mit ganzen rechenschritten, danke

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Der Graph der ganzrationalen Funktion vierten Grades ist symmetrisch
zu y-Achse, geht durch den A(0/2) und hat in B(1/0) ein Minimum.

Symmetrie zur y-Achse : alle Exponenten sind gerade

f ( x ) = a * x^4 + b * x^2 + c

f ( 0 ) = 2
a * 0^4 + b * 0^2 + c = 2  => c = 2

f ( x ) = a * x^4 + b * x^2 + 2
f ( 1 ) = a * 1^4 + b * 1^2 + 2 = 0

f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 2 * b * x
f ´( 1 ) = 4 * a * 1^3 + 2 * b * 1 = 0

a  + b  + 2 = 0  | * 4
4 * a  + 2 * b  = 0

4a + 4b = -8
4a + 2b = 0
----------------
4b -2b = -8
b =-4

a  + (-4)  + 2 = 0
a = 2

f ( x ) = 2 * x^4 - 4 * x^2 + 2

~plot~ 2 * x^4 - 4 * x^2 + 2 ~plot~

Answer 1

Der Graph der ganzrationalen Funktion vierten Grades ist symmetrisch zu y-Achse, geht durch A\((0|2)\) und hat in B\((\red{1}|0)\) ein Minimum.

Durch die Symmetrie liegt nun auch ein Minimum in   C\((-\blue{1}|0)\)  Beides sind nun doppelte Nullstellen:

\(f(x)=a(x-\red{1})^2(x+\blue{1})^2\)

A\((0|2)\):

\(f(0)=a(0-\red{1})^2(0+\blue{1})^2=a=2\)

\(f(x)=2(x-\red{1})^2(x+\blue{1})^2\)

Answer 2

f(x) = ax⁴ + bx² + c wegen der Symmetrie, f '(x) = 4ax³ + 2bx

f(0) = 2 -> c = 2, bleiben zwei Unbekannte a und  b

f(1) = 0 [wegen Punkt B]

und f '(1) = 0 [Minimum in B]

ergibt die Gleichungen

a + b + 2 = 0 [#]

und 4a + 2b = 0 -> 2a + b = 0 -> b = -2a

b in [#] eingesetzt -> a -2a + 2 = 0 -> a = 2 -> b = -4

f(x) = 2x⁴ - 4x² + 2