Steckbriefaufgaben (Rekonstruktion von Funktionen) Torschuss und Kanal

Question

Hallo an alle !

Wir haben momentan das Thema Steckbriefaufgaben. Mit den "normalen" Aufgaben habe ich gar keine Probleme, aber jetzt hab ich hier zwei Textaufgaben, bei denen ich gar nicht weiß, wie ich anfangen soll, weshalb ich für eine Antwort sehr dankbar wäre. Kleine Anmerkung: Ich bin niemand, der von anderen seine Hausaufgaben gemacht haben möchte, diese Aufgaben dienen zur Vorbereitung auf die nächste Klassenarbeit und ist freiwillig :) 

1) Torschuss

Beim Hallenfussball schießt ein Stürmer auf das Tor. Der Ball landet nach einem Parabelflug (also Funktion zweiten Grades, richtig?) genau auf der 50m entfernten Torlinie. Seine Gipfelhöhe beträgt 12,5m 

a) Wie lautet die Gleichung der Flugparabel

b) Hat der 3m vor dem Tor stehende Towart eine Abwehrchance? Er kommt mit der Hand 2,7m hoch.

c) Unter welchem Winkel a wird der Ball abgeschossen?

d) Der Abschusswinkel soll vergrößert werden. Welches ist der maximal mögliche Wert für a. Der Ball soll wieder auf der Torlinie landen. (Hallenhöhe 15m) 

2) Kanal

Vom See geht ein Stichkanal, dessen Verlauf für 2 <= x <= 8 durch die Funktion f(x) = 6/x beschrieben werden kann. Der Stichkanal soll ohne Knick durch einen Bogen weitergeführt werden, der durch eine zur y-Achse symmetrische quadratische Parabale g(x) = ax^2 + bx + c modelliert werden kann.

a) Wie lautet die Gleichung der Parabel

b) Unter welchem Winkel unterquert der neue Kanal die von Westen nach Osten verlaufende Straße?

c) Südlich der Straße soll der Kanal geradlinig weiter geführt werden. Wie lautet die Gleichung des Knalas in diesem Bereich (Funktion h) ? 

d) Trifft die Weiterführung des Kanals auf die Stadt S(-6 / -9 ) ? 

:) 

Comments

Anfang von 1) vgl. hier auch hier: https://www.mathelounge.de/204850/torschuss-rekonstruktion-wie-lautet-die-flugparabel

Bitte auch die Suche benutzen.

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Vom Duplikat:

Titel: wie lautet die gleichung der parab?

Stichworte: steckbriefaufgabe

Aufgabe:

Vom see geht ein stichkanal aus, dessen verlauf für 2<x<8 durch die funktion f(x)=6x beschrieben werden kann. der stichkanal soll ohne knick durch einen bogen weitergeführt werden, der durch eine zur y-achse symmetrische quadratische parabel g(x)= ax^2+bx+c modelliert werden kann.

a) wie lautet die gleichung der parabel?

b) unter welchem winkel unterquert der neue kanal die von westen nach osten verlaufende straße?

c) südlich der straße soll der kanal geradlinig weitergeführt werden. wie lautet die gleichung des kanals in diesem bereich (funktion h)

d) trifft die weiterführung des kanals auf die stadt S(−6;−9)?

Problem/Ansatz:

Kann jemand bitte die Aufgabe b), c) und d) bearbeiten brauche dringend.

Answer 1

1) Torschuss

Beim Hallenfussball schießt ein Stürmer auf das Tor. Der Ball landet nach einem Parabelflug (also Funktion zweiten Grades, richtig?) genau auf der 50m entfernten Torlinie. Seine Gipfelhöhe beträgt 12,5m 

a) Wie lautet die Gleichung der Flugparabel

a = -12.5 / (50/2)^2 = -0.02

f(x) = -0.02 * x * (x - 50) = x - x^2/50

b) Hat der 3m vor dem Tor stehende Towart eine Abwehrchance? Er kommt mit der Hand 2,7m hoch.

f(47) = 2.82

c) Unter welchem Winkel a wird der Ball abgeschossen?

arctan(f'(0)) = 45 Grad

d) Der Abschusswinkel soll vergrößert werden. Welches ist der maximal mögliche Wert für a. Der Ball soll wieder auf der Torlinie landen. (Hallenhöhe 15m) 

a = -15 / (50/2)^2 = -0.024

f(x) = -0.024 * x * (x - 50) = 1.2·x - 0.024·x^2

arctan(f'(0)) = 50.19 Grad

Comments

Diese Aussage stimmt nicht ganz:

f(x) = -0.02 * x * (x - 50) = x - x²/50

Du hast im dritten Teil der Gleichung den Faktor -0,02 vergessen. 

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Beachte: -1/50 = - 0.02

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ich hab noch nicht ganz verstanden, wie man auf Aufgabe c kommt. Die Lösung kann ich nachvollziehen, allerdings nicht den Gedanken dahinter.

Ich würde mich sehr über eine möglichst schnelle Antwort freuen.

Vielen Dank schonmal im Voraus

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Mit der Ableitung berechnet man die Steigung an der Stelle x=0. Die Steigung ist definiert als die Steigung der tangente in dem Punkt. Die tangentensteigung kann ausdrücken Mit Hilfe eines steigungsdreiecks

m=Δy/Δx

In einem rechtwinkligen Dreieck ist

tan α=Δy/Δx

Will man den Winkel α berechnen verwendet man den arcus tangens und für Δy/Δx kann man die Ableitung an der Stelle x=0 einsetzen.

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Kann mir jemand erklären wie genau man auf a kommt? (Einfach den Rechenweg)

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Was verstehst du an meiner Rechnung nicht ?

Ich habe zunächst die Flugparabel aufgestellt, die die komplette Hallenhöhe von 15 m nutzt. Und dann habe ich die Steigung bzw. Steigungswinkel am Ursprung berechnet.

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Oh tut mir Leid, meine Frage bezieht sich auf die Aufgabe a)

Ich verstehe nämlich nicht genau wie man den Parameter a ausrechnet...

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Tut mir noch Mal Leid, bin neu auf der Seite. Ich meine die Torschuss Aufgabe.

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Die allgemeine Gleichung einer Parabel kann dargestellt werden durch die Scheitelpunkform

$$f(x)=a(x-d)^2+e$$

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten (-d|e).

Seine Gipfelhöhe beträgt 12,5m 

⇒ e = 12,50

Der Scheitelpunkt befindet sich auf halber Strecke, hier 25 m

⇒ x = -25

Die Gleichung lautet

$$f(x)=a(x-25)^2+12,5$$

Die Parabel geht durch den Ursprung = P (0|0)

Die Koordinaten dieses Punktes setzen wir in die Gleichung ein, um a zu ermitteln:

$$0=a(0-25)^2+12,5\\0=625a+12,5\quad |-12,5\\-12,5=625a\qquad |:625\\ -\frac{1}{50}=a$$

Also lautet die Gleichung der Parabel

$$f(x)=-\frac{1}{50}(x-25)^2+12,5$$

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Man kann auch von der faktorisierten Form ausgehen, weil man die Nullstellen kennt.

f(x) = a * x * (x - 50)

Nun weiß man das der Höchste Punkt bei (25 | 12.5) ist. Also kann man das einsetzen und nach a auflösen.

f(25) = a * 25 * (25 - 50) = 12.5

Auflösen nach a ergibt direkt a = -0.02

Ich verwende allerdings meist die Formel für den Öffnungsfaktor.

a = Δy / (Δx)²

Dabei ist Δy das, was man nach oben oder unten gehen muss, wenn man vom Scheitelpunkt Δx nach rechts oder links geht.

Stellt man sich also den Scheitelpunkt bei (25 | 12.5) vor müsste ich ja 12.5 nach unten gehen, wenn ich 25 nach links gehe. Daher kann ich so gleich den Öffnungsfaktor bestimmen.

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Die faktorisierte Form ist eindeutig eleganter.

Von der Öffnungsformel habe ich heute zum ersten Mal gehört/gelesen und wieder etwas dazu gelernt.

Vielen Dank!

Answer 2

Vom See geht ein Stichkanal, dessen Verlauf für 2 <= x <= 8 durch die Funktion f(x) = 6/x beschrieben werden kann. Der Stichkanal soll ohne Knick durch einen Bogen weitergeführt werden, der durch eine zur y-Achse symmetrische quadratische Parabale g(x) = ax² + bx + c modelliert werden kann.

Zur y-Achse symmetrisch heißt schon mal 

g(x) = ax^2 + c

f(x) = 6/x
f(2) = 3
f'(2) = -1.5

Also muss gelten

g(2) = 3
g'(2) = -1.5

--> a = -0.375 ∧ c = 4.5

g(x) = -0.375x^2 + 4.5

Schaffst du es dann alleine weiter?

Answer 3

Ich bin niemand, der von anderen seine Hausaufgaben gemacht haben möchte, 

Gemäß deinem Wunsch liefere ich nur die ersten Ansätze.

1) Torschuss
Beim Hallenfussball schießt ein Stürmer auf das Tor. Der Ball landet nach
einem Parabelflug (also Funktion zweiten Grades, richtig?) genau auf der 50m
entfernten Torlinie. Seine Gipfelhöhe beträgt 12,5m 

a) Wie lautet die Gleichung der Flugparabel

Aus den Angaben läßt sich schließen
f ( x ) = a*x^2 + b * x + c
f ´( x ) = 2ax^2 + b
f ( 0 ) = 0
f ( 50 ) = 0
f  ( 25 ) = 12.5
f ´( 25 ) = 0

b) Hat der 3m vor dem Tor stehende Towart eine Abwehrchance? Er kommt
mit der Hand 2,7m hoch.
f ( 47 ) berechnen.

c) Unter welchem Winkel a wird der Ball abgeschossen?
f ´( 0 ) =?

2) Kanal

Vom See geht ein Stichkanal, dessen Verlauf für 2 <= x <= 8 durch die
Funktion f(x) = 6/x beschrieben werden kann. Der Stichkanal soll
ohne Knick durch einen Bogen weitergeführt werden, der durch
eine zur y-Achse symmetrische quadratische Parabale
g(x) = ax² + bx + c modelliert werden kann.

a) Wie lautet die Gleichung der Parabel
f ( 8 ) = g ( 8 )
f ´( 8 ) = g ´( 8 )

Comments

Also a bei der Torschuss Übung bei Aufgabe a)

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Wie berechnet man d)

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An den epischen,
oder ali_mathe,
was willst du wissen
Torschuss oder Kanal ?
( a,b,c,d )