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Wir fahnden nach einer Funktion dritten Grades:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$
Sie verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung. Daher bleiben nur Summanden mit ungeraden Exponenten übrig:$$f(x)=ax^3+\cancel{bx^2}+cx+\cancel{d}=ax^3+cx$$
Die Gesuchte hat eine Extremstelle bei \(x=1\):$$0\stackrel!=f'(1)=\left(3ax^2+c\right)_{x=1}=3a+c\implies c=-3a$$Damit sieht die Gesuchte so aus:$$f(x)=ax^3-3ax=ax\cdot(x^2-3)$$
Die letzte heiße Spur ist, dass ihr Graph im ersten Quadranten mit der \(x\)-Achse die Fläche \(\frac94\) einschließt. Aus unsren bisherigen Ermittlungen wissen wir, das die Funktion 3 Nullstellen hat, bei \((\pm\sqrt3)\) und bei \(0\). Damit können wir die Forderung nach der Fläche formulieren:$$\frac94\stackrel!=\left|\int\limits_0^{\sqrt3}f(x)\,dx\right|=\left|\int\limits_0^{\sqrt3}\left(ax^3-3ax\right)\,dx\right|=\left|a\int\limits_0^{\sqrt3}\left(x^3-3x\right)\,dx\right|$$$$\phantom{\frac94}=\left|a\left[\frac{x^4}{4}-3\,\frac{x^2}{2}\right]_0^{\sqrt3}\right|=\left|a\left(\frac94-3\,\frac32\right)\right|=\left|a\left(\frac92-\frac94\right)\right|=\frac94\,\left|a\right|$$Also ist \(a=\pm1\). Das Vorzeichen von \(a\) müssen wir so wählen, dass der Graph für \(x\in[0;\sqrt3]\) im ersten Quadranten verläuft. Wegen \((x^2-3)\le0\), muss \(ax\le0\) gelten, damit \(f(x)\ge0\) ist. Also ist \(a=-1\).
Damit ist die Gesuchte entdeckt:$$\boxed{f(x)=-x^3+3x}$$
~plot~ -x^3+3x ; {1|2} ; {0|0} ; {sqrt(3)|0} ; [[-3|3|-3|3]] ~plot~
