Direkter und Indirekter Beweis

Question

sei n ein Element der Menge N. Beweise folgende Aussagen: a.) direkt und b.) indirekt:

a,) n ist gerade --> n^2 ist ungerade

b.) n ist gerade und wurzel aus n ist ist ein Element der natürlichen Zahlen--> wurzel n ist gerade.

Answer 1

a) n ist gerade --> n² ist ungerade

n = 2 und damit gerade

n^2 = 2^2 = 4 st aber auch gerade.

Ich sehe nicht, dass diese Behauptung gilt? Richtig aufgeschrieben?

Comments

ah nei sry

a) n ist ungerade --> n² ist ungerade 

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n, a, b ∈ ℕ

n ist gerade: Dann lässt sich n schreiben als 2*a

√n = √(2a) = b

2a = b^2 = b * b

Damit ein Produkt gerade ist muss ein Faktor gerade sein. Damit muss b gerade sein.

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a) n ist ungerade --> n² ist ungerade  

Wenn n ungerade ist lässt sich n schreiben als 2a + 1

n^2 = (2a + 1)^2 = 4·a^2 + 4·a + 1 = 2·(2·a^2 + 2·a) + 1

Damit ist n^2 auch wieder ungerade.

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a) n ist ungerade --> n² ist ungerade 

Wie könntest du das indirekt beweisen ?

Nimm an das n^2 gerade ist.

Was ist dann n^2 ? gerade oder ungerade ? Wie zeigst du das ?

Wenn n^2 jetzt aber nicht ungerade ist heißt es ja, dass unsere Annahme falsch gewesen sein muss.

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Also a habe ich verstanden aber ich muss b indirekt beweisen mit einem Widerspruch, dh doch dass ich ein Beispiel finden muss wo es nicht stimmt, dass ich zeigen kann, dass diese Aussage nicht stimmt oder verstehe ich das falsch?

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b.) n ist gerade und wurzel aus n ist ist ein Element der natürlichen Zahlen

Genau. Du nimmst an n ist ungerade und Wurzel n ist Element der natürlichen Zahlen. Daraus willst du jetzt zeigen das die Wurzel aus n gerade ist. 

Das wird dir wohl misslingen und daher muss n dann gerade sein.

Kannst du das jetzt mal probieren ?