y= 3x (x^2-3x+2). Wie berechnet man den Inhalt zwischen Parabel, Wendetangente und y-Achse?

Question

Skizziere die Parabel P_ y= 3x (x²-3x+2) und berechne den Inhalt der Fläche, welche begrenzt wird con der y-Achse, der Parabel und der Wendetangente.

Lösung: N( 0/0), N(0/2), N( 1/0)=W, A= 0,75

Kann mir jemand bitte Schritt für Schritt diese Aufgabe erklären?

Comments

Die zeite Nullstelle muss N(2/0) heißen

Answer 1

Wo liegt das Problem ?

Wendepunkt bestimmen ?    muss (1 ; 0 ) ergeben. s. Lösung.

Webdetangente hat wegen f ' (x) = 9x^2 - 18x + 6 Steigung f ' ( 1) = -3

siehst du auch auf der Zeichnung vom Mathecoach

Gesuchte Fläche dann mit Integral

$$ \int_{0}^{1}  ( (-3x+3) - f(x) ) dx $$
$$ \int_{0}^{1} (-3x^3+9x^2-9x+3)dx =  0,75 $$

Comments

Wie kommt man auff ' ( 1) = -3, weil wenn ich 1 in f ' (x) = 9x^2 - 18x + 6 einsetze bekomme ich 69 und nicht -3

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wenn ich 1 in f ' (x) = 9x² - 18x + 6 einsetze bekomme ich 69 und nicht -3

?????????

9*1^2 - 18*1 + 6   Potenz 1^2 zuerst ausrechnen, gibt 1

= 9 - 18 + 6

=        -9 + 6 =  -3

Answer 2

Hast du die Skizze bereits gemacht ? Wenn ja bitte einstellen, wenn, warum nicht ?

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Hier eine Skizze zum Vergleich und damit du weißt was du berechnen sollst:

Answer 3

Die Parabel verläuft vom dritten in den ersten Quadranten (wegen ungeradem Grad und positivem Koeffizient des höchsten Exponenten), hat bei x=0 eine Nullstelle (Satz vom Nullprodukt) und Steigung 6 (durch ausmultiplizieren). Mit der p-q-Formel findet man zwei weitere Nullstellen bei x=1 und x=2.

Wendestelle bekommst du indem du die Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmst. Das ist hinreichend, weil jede ganzrationale Funktion dritten Grades genau eine Wendestelle hat. Wendestelle liegt bei x=1.

Der Graph verläuft zwischen x=0 und x=1 ausschließlich unterhalb der Wendetangente. Die Steigung m der Wendetangente bekommst du indem  du die Wendestelle in die Ableitung einsetzt. Den y-Achsenabschnitt bekommst du indem du den Wendepunkt in die Gleichung y=mx+n einsetzt.

Subtrahiere von der Wendetangente die Funktion und integriere die Differenz von 0 bis 1.

Answer 4

Wendepunkt (1 | 0) 

f ' (1)  berechnen [= Steigung der Wendetangente]

t(x) = f '(1) • (x - 1)  [Gleichung der Wendetangente]

A = ∫₀¹ [ t(x) - f(x) ] dx