0 Daumen
1,3k Aufrufe

Sei c>0 gegeben. Wähle einen Startwert x0∈(0, 2/c) und definiere rekursiv

\( x_{n+1}:=x_{n}\left(2-c x_{n}\right) \quad\left(n \in \mathbb{N}_{0}\right) \)

a) Zeigen Sie, dass \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) monoton wächst und nach oben durch \( \frac{1}{c} \) beschränkt ist.

b) Berechnen Sie \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \).

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

(1)  Es ist klar, dass  wegen  0 < x0 < 2/c  gilt, dass  xn > 0  für alle  n  ist.
(2)  Zeige per Induktion über  n, dass  2 - cxn ≥ 1  für alle  n ≥ 1 gilt.
Induktionsanfang: Für  n = 1  gilt:
2 - cx1 = 2 - cx0(2 - cx0) = (cx0 - 1)2 + 1 ≥ 1.
Induktionsvoraussetzung: Es gebe ein  n  für das die Behauptung gilt.
Zu zeigen ist, dass die Behauptung für  n + 1  gilt.
Induktionsschritt: Nach Induktionsvoraussetzung gilt:
2 - cxn+1 = 2 - cxn(2 - cxn) = (cxn - 1)2 + 1 ≥ 1.

(3)  Nach (1) & (2)  gilt:
xn+1 = xn(2 - cxn) ≥ xn.
Damit ist gezeigt, dass  {xn}n≥1  monoton steigend ist.

(4)  Zeige, dass  xn ≤ 1/c  für alle  n ≥ 1  ist.
Für alle   n ≥ 0  gilt:
(xn - 1/c)2 ≥ 0
⇔ xn(2 - cxn) ≤ 1/c ⇔ xn+1 ≤ 1/c.

(5)  Aus (1) bis (4) folgt, dass der Grenzwert  g = limn→∞ xn  existiert.
Berechne  g  aus g = limn→∞ xn = limn→∞ xn+1 = limn→∞ xn(2 - cxn).

 

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community