(1) Es ist klar, dass wegen 0 < x0 < 2/c gilt, dass xn > 0 für alle n ist.
(2) Zeige per Induktion über n, dass 2 - cxn ≥ 1 für alle n ≥ 1 gilt.
Induktionsanfang: Für n = 1 gilt:
2 - cx1 = 2 - cx0(2 - cx0) = (cx0 - 1)2 + 1 ≥ 1.
Induktionsvoraussetzung: Es gebe ein n für das die Behauptung gilt.
Zu zeigen ist, dass die Behauptung für n + 1 gilt.
Induktionsschritt: Nach Induktionsvoraussetzung gilt:
2 - cxn+1 = 2 - cxn(2 - cxn) = (cxn - 1)2 + 1 ≥ 1.
(3) Nach (1) & (2) gilt:
xn+1 = xn(2 - cxn) ≥ xn.
Damit ist gezeigt, dass {xn}n≥1 monoton steigend ist.
(4) Zeige, dass xn ≤ 1/c für alle n ≥ 1 ist.
Für alle n ≥ 0 gilt:
(xn - 1/c)2 ≥ 0
⇔ xn(2 - cxn) ≤ 1/c ⇔ xn+1 ≤ 1/c.
(5) Aus (1) bis (4) folgt, dass der Grenzwert g = limn→∞ xn existiert.
Berechne g aus g = limn→∞ xn = limn→∞ xn+1 = limn→∞ xn(2 - cxn).