0 Daumen
650 Aufrufe

Für welchen Wert von a schliessen die Graphen der Funktionen f1: y= ax und f2: y= x2 -ax eine Fläche vom Inhalt A= 36 ein?

Lösung: a= +/-3

Kann mir jemand weiterhelfen?

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hier meine Berechnung

Bild Mathematik

Bild Mathematik

Bei Fragen wieder melden.

Avatar von 123 k 🚀
0 Daumen

1. Berechne die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Mach dir klar warum \(a \neq 0 \) sein muss.

2. Die Fläche der Differenzfunktion zwischen den Schnittstellen beträgt 36. Gleichung aufstellen und nach \(a\) auflösen. Berücksichtige, dass eine Fläche stets positiv ist, ein Integral jedoch nicht.

Gruß

Avatar von 23 k
0 Daumen

Hi, du brauchst also die Fläche zwischen zwei Graphen. Hier hilft es immer, wenn du eine Vorstellung davon hast, wie das Ganze aussieht. Heißt, du kannst dir beide Graphen mal in ein Koordinatensystem für unterschiedliche a-Werte zeichnen lassen.

Als nächstes müssen wir die Schnittpunkte beider Funktionen kennen, denn dazwischen liegt ja unsere gesuchte Fläche und nur so wissen wir, von wo bis wo wir überhaupt integrieren müssen. Also Funktionen gleichsetzen:

$$ax=x^2-ax \quad \Leftrightarrow \quad 2ax -x^2 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x (2a-x) = 0$$

Hier lesen wir direkt ab, dass unsere beiden Schnittstellen

$$x_1=0 \quad und \quad x_2=2a$$

sind. Nun kennen wir unsere Grenzen. Integriert werden muss die Funktion

$$f(x) = f_1(x) - f_2(x) = ax - (x^2-ax)=2ax-x^2$$

und das Ergebnis soll 36 sein, also:

$$\int_0^{2a} (2ax-x^2) = 36$$

$$ \frac{4a^3}{3} = 36$$

$$ \Leftrightarrow \quad a^3 = 27$$

$$\Rightarrow a = 3$$

Hier musst du jetzt vorsichtig sein. Das gilt nur für a≥0. Wenn unser a<0 ist, dann müssen wir die Integrationsgrenzen vertauschen:

$$\int_{2a}^{0} (2ax-x^2) = 36$$

$$ \dots $$

$$\Rightarrow a = -3$$

Avatar von 1,6 k

Hallo :) Ich habe die letzten Schritte nicht ganz verstanden. Wie man auf 4ahoch3/3=36 kommt. Wenn man 2a für x einsetzt bekommt man doch 2a •2a-2a2=36 oder nicht? Und das mit dem Vorzeichenwechsel. A ist doch 3 und dort steht dass, wenn die Zahl grösser als Null ist, die Vorzeichen bleiben. Warum werden sie hier gewechselt?

Lg

\Rightarrow a = 3

Hier musst du jetzt vorsichtig sein. Das gilt nur für a≥0. Wenn unser a<0 ist, dann müssen wir die Integrationsgrenzen vertauschen:

\dots

\Rightarrow a = -3

Hi, du musst die Funktion zuerst integrieren und dann erst die Grenzen einsetzen:

$$\int_0^{2a} (2ax-x^2) = \left [ ax^2- \frac{1}{3}x^3 \right ] _0^{2a}$$

$$= a \cdot (2a)^2 - \frac{1}{3} \cdot (2a)^3 - \left( a  \cdot 0^2 - \frac{1}{3} \cdot 0^3 \right)$$

$$ = 4a^3 - \frac{8}{3}a^3$$

$$ = \frac{4}{3}a^3 \ .$$


Das mit dem Vorzeichen hat mit deinen Integralgrenzen zu tun. Du integrierst ja vom kleinen zum größeren Wert. Wenn dein a also negativ ist, musst du eben von 2a bis 0 integrieren und nicht von 0 bis 2a.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community