Hi, du brauchst also die Fläche zwischen zwei Graphen. Hier hilft es immer, wenn du eine Vorstellung davon hast, wie das Ganze aussieht. Heißt, du kannst dir beide Graphen mal in ein Koordinatensystem für unterschiedliche a-Werte zeichnen lassen.
Als nächstes müssen wir die Schnittpunkte beider Funktionen kennen, denn dazwischen liegt ja unsere gesuchte Fläche und nur so wissen wir, von wo bis wo wir überhaupt integrieren müssen. Also Funktionen gleichsetzen:
$$ax=x^2-ax \quad \Leftrightarrow \quad 2ax -x^2 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x (2a-x) = 0$$
Hier lesen wir direkt ab, dass unsere beiden Schnittstellen
$$x_1=0 \quad und \quad x_2=2a$$
sind. Nun kennen wir unsere Grenzen. Integriert werden muss die Funktion
$$f(x) = f_1(x) - f_2(x) = ax - (x^2-ax)=2ax-x^2$$
und das Ergebnis soll 36 sein, also:
$$\int_0^{2a} (2ax-x^2) = 36$$
$$ \frac{4a^3}{3} = 36$$
$$ \Leftrightarrow \quad a^3 = 27$$
$$\Rightarrow a = 3$$
Hier musst du jetzt vorsichtig sein. Das gilt nur für a≥0. Wenn unser a<0 ist, dann müssen wir die Integrationsgrenzen vertauschen:
$$\int_{2a}^{0} (2ax-x^2) = 36$$
$$ \dots $$
$$\Rightarrow a = -3$$
