Die Parabel nenne ich f2, die kubistische Funktion f3 - schade, dass du ihnen keinen namen gegeben hast.
f2 hat doch im Ursprung ein Minimum; Berühren heißt: Auch f3 hat im Ursprung eine mindestens doppelte Nullstelle. Und zwar will ich f3 aus gegebenem Anlass vorerst in Normalform notieren:
F3 ( x ) := x ³ + a2 x ² ( 1a )
f3 ( x ) := k F3 ( x ) ( 1b )
Und zwar kommt hier keine einzige Ableitung zum Einsatz, sondern nur Schmuddeltricks. Dies ist eine Steckbriefaufgabe für die Funktion F3 ; wie aus ( 1a ) ersichtlich, hast du gerade mal eine Unbekannte.
Für Spickzettel und Formelsammlung; für den WP zu bestimmen, braucht es keine 2. Ableitung. In der Normalform ( 1a ) gilt
x ( w ) = - 1/3 a2 ( 2 )
Ich sage ganz typisch
" Alle kubischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "
Dieser WP ist nämlich eine Info, die, quasi versteckt, in der Aufgabe explizit gar nicht vor kommt und auch gar nicht so beabsichtigt war. Ich bin praktisch der Codeknacker vom Dienst.
Eintrag in das Regelheft; alle kubischen Polynome verlaufen Punkt symmetrisch gegen ihren WP . Du hast drei Kardinalpunkte; Minimum, Maximum und WP. Aus der Spiegelsymmetrie folgt offensichtlich, dass wenn du zwei hast, auch den dritten kennst:
( x | y ) ( min ) := ( 0 | 0 ) ( 3a )
( x | y ) ( max ) := 3 ( 1 | 3/2 ) ( 3b )
( x | y ) ( w ) = 1/2 [ ( x | y ) ( max ) + ( x | y ) ( min ) ] = ( 3c )
= 3/2 ( 1 | 3/2 ) ( 3d )
Und aus ( 2 )
a2 = ( - 9/2 ) ( 4 )
Ich sage immer, der ===> Leitkoeffizient k in ( 1b ) zählt gar nicht voll; das ist nur eine halbe Unbekannte. Das merkst du sofort, wenn du dir mal überlegst, wozu du den eigentlich noch brauchst. Das wird jetzt deine Eigenleistung; Eigenleistung mahne ich immer dann an, wenn mir eine Aufgabe zu trivial ist. Wenn sie meinen sportlichen Ehrgeiz nicht mehr weckt.
