Textaufgabe: Trigonometrie: Rechteck mit Seiten 48 cm und 72 cm. Berechne die Länge der Diagonalen

Question

Die Seiten eines Rechtecks ABCD sind 48 cm und 72 cm lang. Berechne die Länge der Diagonalen und die Größe der Winkel, unter denen sich die Diagonalen schneiden. Fertige eine Planfigur an.

Answer 1

Zunächst mal die Länge einer Diagonalen d mit Pythagoras berechnen:

d² = a² + b²
d = √(a² + b²)
d = √(72² + 48²)
d = √(5184 + 2304)
d = √7488
d ≈ 86,533

Den von mir eingezeichneten Winkel α kann man z.B. mit dem Tangens berechnen dazu habe ich noch eine Senkrechte zu a eingezeichnet, die dann halb so lang wie b ist. Dadurch entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit a/2 und b/2 als Katheten und d/2 als Hypotenuse.

tan(α) = a/2 / b/2
tan(α) = a/b
tan(α) = 72 cm / 48 cm
tan(α) = 1,5
α = tan^-1(1,5)
α ≈ 56,31°

Wenn man α hat, lassen sich dann nun auch noch die beiden anderen Winkel berechnen, unter denen sich die beiden Diagonalen ja schneiden.

β = 2α
β ≈ 2 * 56,31°
β ≈ 112,62°

γ = 180° - β
γ ≈ 180° - 112,62°
γ ≈ 67,38°

Answer 2

Die Diagonale teilen das Rechteck in 4 gleichschenklige Dreiecke.und  d  mit dem Pythagoras berechnen:

d= √(48²+72²)       d=86,53

arcsin α=48 /86,53 =33,69°

Nach dem Winkelinnesummensatz ist dann ε

         ε=180-2*33,69=112,62°

Und ζ= 180-112,62  =67,38°

Antwort. die Diagonalen sind 86,53cm lang und schneiden sich unter den Winkeln von

112,62 ° und 67,38°, der Steigunswinkel von A nach C ist 33,68°

 

Comments

"arcsin α=48 /86,53 =41,44°"

Also bei mir kommt da für α ca. 33,69° raus, das würde sich auch mit meinem Endergebnis decken.. Hast du da vielleicht etwas Falsches eingegeben? Oder hab ich jetzt irgendwie einen Fehler eingebaut? ^^

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Hallo , ich hatte einen Zahlendreher , und dann haben wir beide das gleiche Ergebnis. ist auch schon richtig gestellt.

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Alles klar, dann wird unser Ergebnis ja wahrscheinlich auch richtig sein. :)

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Ich danke euch

Darf ich euch vielleicht drei weitere Aufgaben stellen?