Stochastik - kontinuierliche Zufallsvariable x und Verteilungsfunktion

Question

Hallo liebe Mathefreunde,

hier eine Aufgabenstellung, bei der ich nicht weiterkomme, bitte helft mir!

Answer 1

zu a) Es ist
$$ P(X\le3) = F(3) \\ P(X>6) = 1-P(X\le6) = 1-F(6) \\ P(3 < X \le 8) = P(X\le8)-P(X\le3) = F(8)-F(3) \\ $$zu b) Es ist
$$f(x) = F'(x)$$

Comments

Kannst du oder jemand anders es mir ausführlicher erklären bitte ?

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Was genau verstehst Du denn nicht?

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Wie kommst du auf F(3)?

Wie kommst du auf F'(x)? Und kannst du es auch zeichnen?

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Fragesteller schrieb: Wie kommst du auf F(3)?

Aufgabensteller schrieb: \(F(x) = P(X\le x)\)

In Obiges habe ich \(x=3\) eingesetzt.

Fragesteller schrieb: Wie kommst du auf F'(x)? Und kannst du es auch zeichnen?

Ein Zusammenhang zwischen der Verteilungsfunktion \(F\) und der Dichtefunktion \(f\) der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße kann durch die Gleichung
$$ P(X\le x) = F(x) = \int _{-\infty}^x f(z)\text{ d}z$$beschrieben werden. Wird die rechte Gleichung abgeleitet, ergibt sich
$$ F'(x) = f(x).$$Zeichnen kann ich den Graphen von \(f\) auch: Er schließt mit der x-Achse ein Trapez ein.

Answer 2

Das ist eine stückweise definierte Verteilungsfunktion.

Du musst jeweils erkennen, in welches Intervall das gegebene x gehört.

Beispiel:

a)i) Berechne, wie vorgeschlagen F(3)

Da 2 ≤ 3 <4

Rechne F(3) = 1/24 * 3^2 - 1/6  * 3 + 1/6  = 1 /24

Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F24+*+3%5E2+-+1%2F6+*+3+%2B+1%2F6+

b)

f(x) = { 0 , für x< 2,

.        { 1/12 x  - 1 /6 , für 2≤ x < 4,

usw.

Bis hierhin sieht die Dichte folgendermassen aus:

Nun einfach die nächsten Stücke anhängen, nachdem du die Verteilung jeweils abgeleitet hast.

Comments

Vielen Dank,

kannst du mir hier helfen, wie ich das einzeichnen muss bitte?

https://www.mathelounge.de/266290/stochastik-normalverteilung-wahrscheinlichkeitspapiers

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Also wäre P(X<=3) = 0,042 ?

Oder muss ich noch F(2) und F(1) und F(0) berechnen und alle miteinander multiplizieren um die Wahrscheinlichkeit zu bekommen?

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1 /24 = F(3) = P(X≤3)  ist genug.

Vgl. auch die Antwort von jd1355. 

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Ok, ich denke das habe ich jetzt verstanden, vielen Dank Lu, kannst du mir hierbei auch helfen bei e)?

https://www.mathelounge.de/266290/stochastik-normalverteilung-wahrscheinlichkeitspapiers

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P(X>6) = 1 - F(6) = 0,5 ?

P(3<X<=8) = F(8) - F(3) = 0,792 ?

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P(X>6) = 1 - F(6) = 0,5 ?  Richtig.

P(3<X<=8) = F(8) - F(3) = 19/24 ≈ 0,792

Answer 3

a) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten.

a1) P(x ≤ 3) = 1/24

a2) P(x > 6) = 1/2

a3) P(3 < x ≤ 8) = 19/24

b) Berechnen und skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x).

f(x) = 0 für x ≤ 2 

f(x) = x/12 - 1/6 für 2 ≤ x ≤ 4 

f(x) = 1/6 für 4 ≤ x ≤ 8 

f(x) = 5/6 - x/12 für 8 ≤ x ≤ 10 

f(x) = 0 für x ≥ 10

Comments

Bei b) die zweite und die vorletzte Funktion verstehe ich nicht, ist die Zeichnung richtig?

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Die Funktionen stimmen, aber ich weiß nicht, ob die Zeichnung stimmt

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Die Zeichnung stimmt auch :)