Steigung einer Tangente

Question

Ich sitze gerade an meinen Hausaufgaben. Das Thema lautet Steigung an einem Punkt auf einer Kurve.

Dazu hatten wir bis jetzt nur die Formel im Bild. Die Formel hat bis jetzt bei allen Formeln funktioniert nur halt bei der nicht. Die obere Formel konnte mit meiner Gleichung errechnet werden. Wie funktioniert es mit der unteren? Sorry für die Unsauberkeit.

Answer 1

Hi!

f(x) = 1/x = 1*x^-1 = x^-1 

f'(x) = -1* x ^-1-1 = -x^-2

f'(2)= -(2)^-2 = -1/4

Schöne Grüße

Comments

Die Steigung m =f'(x)

Deswegen ist der Differentialquotient die Herleitung für die erste Ableitung

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Hallo. Danke für die Antwort. Kann ich diese Aufgabe auch mit meiner Lösung ausrechnen? Schreibe bald Klausur und möchte mich nur auf diese Formel beschränken, da diese bis jetzt die einzige war, die wir für Steigung an einem Punkt genutzt hatten.

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Ja, klar geht das, wenn du nur 3 Aufgaben in der Arbeit lösen möchtest aus zeitlichen Gründen, dann kannst du das gerne machen :DD Die Ableitung ist genau wie der Differentialquotient für eine Steigung in einem Punkt zuständig, daher ist diese Art und Weise der Rechnung wesentlich schneller und damit effektiver. Wenn ihr die Steigung jedoch mit der h-Methode lösen sollt, ist die Ableitung wohl keine Alternative, sondern nur zur Kontrolle anzuwenden.1/x kannst du doch problemlos einsetzen oder notfalls umschreiben in x^-1 . Versuch es mal damit zu lösen!Gruß

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Ja in der Klausur werden wahrscheinlich nur 2 Aufgaben zur Steigung an einer Tangente sein ^^

Hab in Mathe damals nicht so aufgepasst Haha wie löse ich (x+h)^-1 auf? :D

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In dem du die Basis in den Nenner packst, wird der negative Exponent positiv:

(x+h) ^-1 = 1/(x+h)

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Ich Blick nicht mehr durch :F will ja danach auch die 1. Ableitung haben.

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Schau dir den Lösungsweg von mathef an. Ich zitiere ihn mal: "(1 / ( 2+h) - 1 / 2 ) / h  

= 1 / ( h*(h+2) )  -  1 / (2*h)      1.Bruch mit 2 erweitern und 2. mit 2+h

                                                     damit gleiche Nenner 

 = 2 /  (2h*(h+2) )  -  (2+h) /  ( 2h*(2+h) )    
= (2 - 2 - h ) / ( 2h*(2+h) )   
= -h / ( 2h*(2+h) )         h kürzen 
= -1 ( 2*(2+h) )   
und dann geht es für h gegen 0 gegen  f ' (2) = -1/4"

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Bei deiner Aufgabe stand doch xo=2

Deshalb habe ich es dir für xo=2 vorgemacht. Mit x allgemein

geht es fast genauso:

(1 / ( x+h) - 1 / x ) / h  Das "durch h" heißt ja  * 1/h also überall im Nenner ein h dazu

= 1 / ( h*(x+h) )  -  1 / (x*h)      1.Bruch mit 2 erweitern und x mit x+h

damit gleiche Nenner

= x /  (x*h*(x+h) )  -  (x+h) /  ( x*h*(x+h) )   
= (x - x - h ) / ( x*h*(x+h) )  
= -h / ( x*h*(x+h) )         h kürzen
= -1 ( x*(x+h) )  
und dann geht es für h gegen 0 gegen  f ' (x) = -1/x^2 
 nat. nur für x ungleich 0.

Answer 2

Mit der oberen Formel geht es so:

(f(x+h) - f(x)) / h

(1 / ( 2+h) - 1 / 2 ) / h 

= 1 / ( h*(h+2) )  -  1 / (2*h)      1.Bruch mit 2 erweitern und 2. mit 2+h

damit gleiche Nenner

= 2 /  (2h*(h+2) )  -  (2+h) /  ( 2h*(2+h) )   
= (2 - 2 - h ) / ( 2h*(2+h) )  
= -h / ( 2h*(2+h) )         h kürzen
= -1 ( 2*(2+h) )  
und dann geht es für h gegen 0 gegen  f ' (2) = -1/4