Wie muss ich a bestimmen, damit die Fläche a=27 gibt? ( Integral, Parabel..)

Question

Aufgabe: Die Parabel p: y= ax²-x mit a>0 und ihre Normale im Ursprung sind gegeben. Bestimme a so, dass die Fläche zwischen Parabel und Normale den Inhalt A= 27 besitzt.

Lösung: a= 2/9

Ich weiss nicht, wie ich hier rechnen muss.

Answer 1

p: y= ax²-x mit a>0 und ihre Normale im Ursprung sind gegeben.

y ' = 2ax - 1    also y ' (0) = -1 also hat die Normale die Steigung +1

und Normalengleichung y = x

Schnittpunkte zwischen p und der Normalen:

ax^2 - x = x

ax^2 - 2x = 0 

x * ( ax - 2 ) = 0

x = 0  oder  ax = 2

x = 2 / a   ( geht da a > 0 )

Also Integral von 0 bis 2/a über die Differenz    x - p= x - (  ax^2 - x)  = -  ax^2  +2x

Stammfunktion ist   - 1 3 *a*x^3 + x^2 

Gibt für das Integral 4 / ( 3a^2 ) .  Das gleich 27 gesetzt

4 / 3a^2 = 27

4 = 81 a^2

4/81 = a^2  und weil a > 0 ist     a = 2/9

Comments

Das Prinzip ist mir klar geworden. Ich weiss nicht, wie man auf diese Stammfunktion kommt und von dort auf das Integral 4 / ( 3a² ) kommt.

Vielen Dank fürs helfen!

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Weshalb wechselt hier das Vorzeichen?

also y ' (0) = -1 also hat die Normale die Steigung +1

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wenn zwei geraden aufeinander senkrecht stehen ist

das Produkt der Steigungen - 1.

Wenn die eine also -1 ist, muss die andere +1 sein.

Bei anderen Zahlen nat. nicht, wenn eine

m=2 hat, dann hat die andere m = -1 / 2   etc.

Immer der negative Kehrwert. Kannst ja mal ein

paar zeichnen. Kann man aber auch beweisen.

https://www.mathelounge.de/264989/wieso-mussen-bei-senkrechten-beide-steigungen-1-ergeben

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Hier die etwas ausführlichere Bildung der Stammfunktion
und der weiteren Berechnungen.

Weil die untere Integrationsgrenze x = 0 ist entfällt dieser Term.

In der letzten Zeile muß das a^2 in den Nenner.

4/ ( 3 * a^2 ) = 27

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a = 2/9
und
a = -2/9

Die 2.Lösung dürfte auch stimmen.

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Nee, a > 0 .

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Richtig. Steht im Fragetext.

Answer 2

Was meinst du mit NORMALE ?

Comments

Das ist die Gerade, die im Berührpunkt auf der Tangente senkrecht steht.