Hat die Gleichung eine eindeutige Lösung in der Gruppe G?

Question

Hallo Ihr Lieben,

ich hab da mal eine Frage zu folgender Aufgabe: 

Es sei (G, ◦) eine Gruppe. Zeige, dass für alle a,b,c ∈ G die Gleichung a ◦ x ◦ b = c eine eindeutige Lösung in G hat. 

Wie muss ich hier vorgehen? In meinem Skript steht leider gar nichts zu eindeutigen Lösungen. Soll ich vielleicht mit dem Inversen arbeiten? 

Moni

Answer 1

Multipliziere von rechts mit \( b^{-1} \) und von links mit \( a^{-1} \). Dann bekommst du \( x = a^{-1}cb^{-1} \) als notwendige Darstellung von \( x \).

Zu zeigen ist noch, dass es zu jedem Gruppenelement höchstens ein inverses gibt. Aber das habt ihr wahrscheinlich schon gemacht.

Comments

Vielen Dank für deine schnelle und verständliche Antwort! Das hilft mir schon sehr!

Ich habe jetzt ein Beweis für genau ein Inverses hergeleitet. Muss ich diesen mit allen Elementen a,b,c durchführen oder reicht es schon, wenn ich eins zeige?

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Ja, du musst den Beweis für jedes Gruppenelment durchführen. Das macht man normalerweise in einem Rutsch. Deshalb fängt ein solcher Beweis normalerweise so an: "Sei g ein beliebiges Gruppenelment.".

Im konkreten Fall geht es dann so weiter: Ferner seien g' und g'' zu g inverse Elemente. Dann gilt

g◦g'=1 und g◦g''=1

=> g◦g'=g◦g''

=> g'◦(g◦g')=g'◦(g◦g'')

=> (g'◦g)◦g'=(g'◦g)◦g''

=> 1◦g'=1◦g''

=> g'=g''.