Also für 1, 2, oder 3 Elemente ist es ja einfach:
1 Element: Das muss das neutrale e sein. Abelsch ist die Gruppe,
denn die einzige Rechnung mit 2 Operanden ist hier e*e und
in der anderen Reihenfolge e*e also beides gleich.
2 Elemente Jedenfalls e und ein weiteres , etwa a .Das muss zu sich selbst
invers sein, also gilt jedenfalls a*a = e und in anderer Reihenfolge auch.
Fehlt noch a*e und e*a , das ist beides gleich a, also hier auch abelsch.
3 Elemente: e und a und b . Wenn du mit der Gruppentafel beginnst, sieht
es erst mal so aus * e a b
e e a b
a a ? ?
b b ? ?
Die ? müssen dann überlegt werden: Wäre z.B. a zu sich
selbst invers bliebe in der Zeile für das a nur noch a*b=b übrig,
was nicht geht, da a nicht das neutrale Element ist.
Also muss es so aussehen
es erst mal so aus * e a b
e e a b
a a b e
b b a e
ist also auch kommutativ.
Entsprechend kannst du bei 4 Elementen vorhgehen, da gibt es
allerdings 2 möglich Gruppen, die sind
aber beide abelsch.