Beweise Ist (g verknüpft f) surjektiv und g injektiv, so ist f surjektiv.

Question

Seien f: A->B und g: B->C Abbildungen. Beweise: Ist (g verknüpft f) surjektiv und g injektiv, so ist f surjektiv.
Bekomme den Beweis einfach nicht hin und habe nur etliche andere Beweise gefunden, aber eben nicht diesen.
Danke für die Hilfe!

Answer 1

Um zu beweisen, dass f surjektiv ist, musst zu zeigen

Zu jedem y aus B gibt es ein x aus A mit f(x) = y.

Sei also y aus B. Da g injektiv ist, gibt es genau ein z aus C

mit g(y) = z.

Da g°f surjektiv ist, gibt es ein x1 aus  A mit  (g°f)(x1) = z

also g ( f(x1) ) = z 

und wegen der Injektovität von g muss also f(x1)= y

[ denn es ist ja  g ( f(x1) ) = z   und g(y) = z ]

Also ist x1 das anfangs gesuchte x.

q.e.d.

Comments

Super, dankeschön mathef :-)

Jetzt hab ich's endlich verstanden. Danke für die Hilfe!

Answer 2

alternative (indirekt):

nehme an \(f\) wäre nicht surjektiv, dann verwende die Injektivität von \(g\) um zu zeigen, dass \(g\circ f\) nicht surjektiv sein kann.

Gruß