Integralrechnung. (2x+2)/(x-3)^2 integrieren.

Question

hallo

ich bräuchte einen Ansatz für:

$$ \int_{a}^{b}\frac{2x+2}{(x-3)^2} dx $$

Die Lösung habe ich über einen Online_rechner herausgefunden, nur ist da kein Lösungsweg.

Ich denke, man muss den Bruch vereinfachen und den Integral der einzelnen Summanden bestimmen.

Mein nächster Gedanke war, die Polynomdivision durchzuführen. Das Quadrat stört mich irgendwie.

Danke für jeden Tipp.

Answer 1

Du kannst die Aufgabe mit Partialbruchzerlegung lösen.

Ansatz:

(2x+2)/(x-3)^2 = A/(x-3) +B/(x-3)^2

Du kannst das mit der Einsetzmethode oder durch Koeffizientenvergleich lösen:

A=2

B=8

Du hast nun 2 einfache Integrale , die zu lösen kannst.

Lösung:

2 *ln|x-3| -8/(x-3) +C

Comments

danke!

mit der Partialbruchzerlegung bin ich nicht so gut geübt, leider. Wir hatten diese Aufgabe im Test und ich habe minutenlang an dieser Aufgabe herumgebastelt, aber nichts Hilfreiches herausbekommen.

Ich habe jetzt als Lösung etwas seehr schwieriges erwartet.

Answer 2

Die angesprochene Partialbruchzerlegung kannst du dir auf der Seite 

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

mit deinem Beispiel vormachen lassen.

Comments

danke. für die Seite- sie wird mir beim Üben helfen.

Answer 3

Hi, ich würde das vermutlich so machen:
$$ \int_{a}^{b}\frac{2x+2}{(x-3)^2} \text{ d}x = \\\,\\ \int_{a}^{b}\frac{2x-6+8}{(x-3)^2} \text{ d}x = \\\,\\ \int_{a}^{b}\left( \frac{2}{x-3} + \frac{8}{(x-3)^2} \right) \text{ d}x = \,\dots $$Man muss ja nicht für jeden Kleinkram das ganz grobe Werkzeug rausholen. Beachte weiter auch die Polstelle.

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O.o für diese Aufgabe gab es 8 Punke im Test.

2 = -6+8
2x-6 = (x-3)*2

und dann den Bruch spalten in zwei Summanden, dann kürzen.

so einfach... die 8 Punkte waren 1/4 vom Test :(

trotzdem Dankeee für die Antwort!