e-Funktion integrieren, Integralrechnung

Question

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Text erkannt:

\( \int \limits_{0}^{10} 10 e^{0,5 t} d x \)
\( F(x)= \)

Problem/Ansatz: Weiß jemand wie ich es integrieren soll

Answer 1

Aloha :)

Da die innere Ableitung der Funktion eine Konstante ist, kannst du einfach "äußeres Integral durch innere Ableitung" rechnen:$$\int\limits_0^{10}10\cdot e^{0,5x}dx=10\int\limits_0^{10}e^{0,5x}dx=10\left[\frac{e^{0,5x}}{0,5}\right]_0^{10}=20\left[e^{0,5x}\right]_0^{10}=20(e^5-1)\approx2948,26$$

Wenn dir das "zu schnell" ging, kannst du auch substituieren:$$u\coloneqq0,5x\implies\frac{du}{dx}=\frac12\implies dx=2\,du\quad;\quad u(0)=0\quad;\quad u(10)=5$$$$\int\limits_0^{10}10\cdot e^{0,5}\,dx=\int\limits_0^510\cdot e^u\cdot2\,du=20\int\limits_0^5e^{u}\,du=20\left[e^u\right]_0^5=20(e^5-1)\approx2948,26$$

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort:) Meine einzige Frage noch wäre, warum auf einmal ist die Obersumme 5 geworden. Grüße

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Das ist durch die Substitution passiert. Wir haben ja definiert, dass:$$u(x)\coloneqq0,5x$$sein soll. Die alte untere Grenze \(x=0\) wird dann zu \(u(0)=0\) und die alte obere Grenze \(x=10\) wird zu \(u(10)=5\).

Answer 2

f = integral 10 * e^(0.5*t) dx
heißt es bestimmt nicht sondern
f = integral 10 * e^(0.5*x) dx

Ich gehe den umgekehrten Weg und frage
aus welcher Stammfunktion könnte diese Funktion
kommen. Antwort : auch aus einer e-Funktion.

Versuch ; [ e^(0.5*x) ] ´

e^(0.5*x) * 0.5
Jetzt müssen wir noch mal 20 nehmen dann sind wir
dort wo wir hinwollen

[ 20 * e^(0.5*t) ] ´ = 10 * e^(0.5*x)

Stammfunktion
S ( x ) = 10 * e^(0.5*x)

Answer 3

Eine Stammfunktion von f(x)=10e^0,5t  ist F(x)= 10e^0,5t  ·x.