Anwendungsaufgabe Kirschbaum, integrieren

Question

Aufgabe:

Ich hätte eine Frage: ein baum ist nach 7 jahren 5 meter hoch

4.1 Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen dem Graphen von h und der t-Achse im Intervall [0;7] liegt. [zur Kontrolle: A= 26,93 (Flächeneinheiten)

h(t)= 6-4 * e^(-0,2t)

Nach 7 Jahren ist der baum ja 5 meter hoch

die Lösung wäre:

(6*7 -4*(-5)* e^(-0,2*7) - (6*0-4*(-5)*e^(-0,2*7) = 26,93

Ich verstehe alles nur wieso muss man jetzt noch die 5 dazu schreiben und wieso direkt vor dem e und wieso ist es negativ?

Answer 1

Die \(-5\) kommt von der Stammfunktion. Im Exponenten steht \(-\frac{1}{5}t\), wenn man die Dezimalzahl als Bruch schreibt. Wenn man nun die Stammfunktion bildet, dividiert man durch den Exponenten. Eine Division durch \(-\frac{1}{5}\) ist aber dasselbe, wie eine Multiplikation mit \(-5\) (Kehrwert).

Comments

wie integriert man e funktionen? muss man da immer das was im Exponenten vor dem x als kehrwert vor dem e tun?

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Wie lautet die Ableitung von \(f(x)=\mathrm{e}^{ax}\)? Wie kann man solch eine Funktion dann aufleiten?

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Allgemein mit Substitution. Falls es nur um Funktionen der Form \( a \cdot e^{b \cdot x} \) geht, wobei \( a, b \) Konstanten sind, dann wäre die Form der Stammfunktion immer \( \frac{a}{b} \cdot e^{b \cdot x} \).

Edit: sorry Apfelmännchen für die Doppelantworten, ich habs zu spät gesehen.

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ist es a*e^(ax) ?

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ist es a*e^(ax) ?

Korrekt. Was passiert dann logischerweise beim Aufleiten?

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wie meinst du aufleiten? dann sozusagen den kehrwert nehmen also 1/a ?

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Korrekt. Aufleiten = Stammfunktion bilden.

Answer 2

Weil \( \frac{1}{\frac{-1}{0,2}} = (-5) \) ist, und wegen der Kettenregel die Ableitung von \( e^{-0,2t} \) bzgl t gleich \( -0,2 \cdot e^{-0,2t} \) ist. Entsprechend ist die Ableitung von \( (-5) \cdot e^{-0,2t} \)  bzgl t gleich \( e^{-0,2t} \). Also ist \( (-5) \cdot e^{-0,2t} \) eine Stammfunktion von \( e^{-0,2t} \) . Das Pendant der Kettenregel beim Ableiten ist übrigens Integration durch Substitution, damit kommt man auf die richtige Lösung.

Comments

muss man beim integrieren von e funktionen slso eig immer ableiten?

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Nein. Ableiten hilft ein Gefühl dafür zu bekommen, was sich bei einer Funktion ändert, wenn man sie ableitet, um daraus evtl. Rückschlüsse zu ziehen, wenn man eine Ableitung rückgängig macht.

Das Integrieren ist ja das Suchen einer Funktion, die abgeleitet unsere Ursprungsfunktion ergibt.

Answer 3

h(t) = 6 - 4·e^(- 0.2·t)

Stammfunktion

H(t) = 6·t - 4/(- 0.2)·e^(- 0.2·t)
H(t) = 6·t + 20·e^(- 0.2·t)

Du kannst jetzt H(t) mal ableiten, damit du siehst das das genau die Umkehrung ist und damit genau wieder h(t) heraus kommt.