Aufgabe Kreativität:
Eine Mengenfamilie \( \mathcal{F}=\left\{A_{1}, \ldots, A_{n}\right\} \) heißt \( (k, \ell) \)-Blume (für \( \left.k \geq 1, \ell \geq 0\right) \), wenn alle Durchschnitte von Auswahlen von \( k \) Mengen aus \( \mathcal{F} \) gleich ein und derselben \( \ell \)-elementigen Menge sind, d.h., falls eine Menge \( B \) mit \( \|B\|=\ell \) existiert, sodass \( B=\bigcap_{i \in K} A_{i} \) für alle \( K \subseteq\{1, \ldots, n\} \) mit \( \|K\|=k \) gilt.
Zeigen Sie, dass für jede \( (k, \ell) \)-Blume \( \mathcal{F}=\left\{A_{1}, \ldots, A_{n}\right\} \) gilt:
\( \left\|\bigcup \limits_{i=1}^{n} A_{i}\right\|=\sum \limits_{\emptyset \neq K \subseteq\{1, \ldots, n\} \atop\|K\|<k}(-1)^{1+\|K\|}\left\|\bigcap_{i \in K} A_{i}\right\|-(-1)^{k} \cdot\left(\begin{array}{c} n-1 \\ k-1 \end{array}\right) \cdot \ell \)
