Bestimmen sie die Schnittgerade der Ebene E mit der Ebene E1

Question

Aufgabe ist folgende:

E1: x = (3,1,5) + r • (2,-1,0) + s • (-1, 0, 3)

E: [x - (2,3,1)] • (3,9,6) = 0

Die runden Klammern sollen Vektoren darstellen, außerdem hat das x einen Vektorpfeil.

Ich komme besonders mit der Form von E nicht ganz zurecht, wer kann helfen?

Answer 1

E:  (x - a) • n = 0 ist die Punkt-Normalen-Form der Ebenengleichung

n = Normalenvektor senkrecht zur Ebene, a = Stützvektor = Orstvektor eines beliebigen Punktes der Ebene 

Einen Normalenvektor von E₁ erhält man als Vektorprodukt  u x v der beiden Richtungsvektoren, der Stützvektor (3,1,5) ist direkt gegeben. Du kannst also die Punkt-Normalen-Form von E₁ ausrechnen.

Mit Vektor x = (x₁,x₂,x₃) und Vektor n = (n₁,n₂,n₃) kannst du dann die beiden Punkt-Normalen-Formen in die Koordinatenformen umrechnen:

n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = n•a  [n•a ist dann jeweils einfach eine gegeben Zahl]

Für die gesuchte Schnittgerade g_s benötigt man einen Richtungsvektor u_s und einen Ortsvektor a_s als Stützvektor.

Das Vektorprodukt   n₁ x n₂  aus den Normalenvektoren der beiden Ebenen ist ein Richtungsvektor von g_s.

Den Stützvektor erhältst du, indem du in beiden Koordinatenformen die gleiche Variable (z.B. x₃) gleich 0 setzt  und aus den beiden Gleichungen x₁ und x₂ bestimmst.

(Aber da du ja nicht weißt, was eine Normalenform ist, befürchte ich, du wirst Verständnisprobleme haben)

Es gibt noch andere Wege, die Schnittgerade zu bestimmen, aber lästig sind sie alle :-)

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