Schnittgerade von Ebene E1 und E2 bestimmen

Question

E1: x = + r*(1/2/3)+ s*(-1/1/0)

E2: x =   a*(2/0/7)+ b*(1/-1/1)

Aufgabe: Bestimmen Sie die Schnittgeraden der Ebenen E1 und E2.

Diese Teilaufgabe stamm aus derselben Aufgabe wie diese hier: https://www.mathelounge.de/163334/bestimmen-sie-die-schnittgerade-der-ebenen-e1-und-e2

Wie man dort vorgeht verstehe Ich. Allerdings fehlt hier ja jetzt am anfang der beiden Ebenen ein Vektor und somit auch die Zahlen...Jetzt weiß ich nicht wie ich vorgehen soll, denn normalerweise muss man doch die Variablen auf eine Seite und die Zahlen auf die andere bringen.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Danke und LG!

Answer 1

Zunächst gleichsetzen

r·[1, 2, 3] + s·[-1, 1, 0] = a·[2, 0, 7] + b·[1, -1, 1]

In Abhängigkeit von b lösen

a = - b/5 ∧ r = - 2·b/15 ∧ s = - 11·b/15

Also für a einsetzen

- b/5·[2, 0, 7] + b·[1, -1, 1] = [0.6·b, -b, - 0.4·b]

Die Gerade hat die Gleichung: X = r * [0.6, -1, - 0.4]

Comments

Ich verstehe nicht wie du vorgehst...

Dass man die Ebenen gleichsetzt ist klar...aber was machst du dann?

LG

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Du hast 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Damit kann man eventuell 3 Unbekannte in Abhängigkeit von einer Lösen. Du läßt also eine Unbekannte stehen. Brauchen wir ja auch wenn wir eine Geradengleichung haben wollen. Die Geradengleichung hat ja auch einen freien Parameter. Das wird unsere Unbekannte.

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okay danke dass verstehe ich. aber wie kommst du dann zb. auf a= -b/5 ?

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Löse doch mal das Gleichungssystem

r·[1, 2, 3] + s·[-1, 1, 0] = a·[2, 0, 7] + b·[1, -1, 1] 

bedeutet ja

r - s = 2a + b
2r + s = -b
3r = 7a + b

Lasse b dabei einfach rechts stehen also

r - s - 2a = b
2r + s = -b
3r - 7a = b

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danke, soweit so gut...das verstehe ich ... aber wie kommst du jetzt auf:

a = - b/5 ∧ r = - 2·b/15 ∧ s = - 11·b/15 

Danke und LG!

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benötige hilfe...auch die Geradengleichung ist sehr komisch für mich .. im unterricht hatten wir im vektor + variable * vektor

lg

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" vektor + variable * vektor "

Du meinst

vektor + parameter * vektor

für Geraden.

Wenn die Stützvektor nicht angegeben ist, ist er (0,0,0).

Und da er auch bei deinen Ebenen "fehlt" hast du ja einen Punkt der Schnittgeraden schon gratis.

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wieso hab ich den schon gratis? das verstehe ich nicht .. lg

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Gerechnet hab ich in einer eigenen Antwort mal.

vielleicht wird in deinem Browser sogar etwas gezeichnet bei

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=ebene%20%20(0%7C0%7C0%201%7C2%7C3%20-1%7C1%7C0)

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Ich sag immer für Geraden und Ebenen

X = Stützvektor  + r * Richtungsvektor [+ s * Richtungsvektor]

Ist jetzt der Stützvektor nicht gegeben, bzw. fehlt er dann ist [0, 0, 0] der Stützvektor. Das ist wie bei einer Linearen Funktion

y = m * x + b oder y = b + m * x

Ist das b jetzt nicht gegeben wie bei

y = 3 * x

ist das b einfach 0

y = 0 + 3 * x

Ich schreibe hier nur die Vektoren als Zeilenvektoren und nicht als Spaltenvektoren wie eigentlich üblich. Das sollte normalerweise aber keine Probleme bereiten. Daher verzichte ich auch auf ein hoch T am Ende weil das nur verwirren würde wenn man noch nie etwas von transponierten Vektoren gehört hat.

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@TR: Du darfst keine Leerzeichen zwischen Anweisung und Klammer setzen. Statte "ebene  (" muss es sein: "ebene("

Hier der korrigierte Link: https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=ebene(0%7C0%7C0%201%7C2%7C3%20-1%7C1%7C0)

Ich werde versuchen, solchen Userinput zukünftig zu fixen und zu akzeptieren.

Update: Soeben gefixt. Nun funktioniert auch dein Link von oben.

Answer 2

Warum erstellst du denn nicht bei einer deiner Ebenen die Koordinatenform?

Das konntest du doch bei deiner andern Aufgabe auch.

Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%281%2C2%2C3%29+cross+%28-1%2C1%2C0%29+

(1,2,3) cross (-1,1,0)  = (-3,-3,3)

kürzer und Gegenrichtung: (1, 1, -1)

Daher E1: x+y-z=0.

Analog E2.

Comments

E2: (2,0,7) cross (1,-1,1) = (7, 5, -2)

Daher E2: 7x + 5y - 2z = 0

Dazu E1: 2x + 2y - 2z = 0  | (I)-(II)

5x + 3y = 0.

Lösungen. Z. B. (0,0,z) und (3, -5, z)

Wegen E1: x+y=z

folgt: (0,0,0) und (3,-5,2) liegen auf der Schnittgeraden g.

g: x = (0,0,0) + t (3, -5,2) 

Das wäre das Prinzip. Nachrechnen und korrigieren überlasse ich dir. (0,0,0) kannst du auch weglassen.