Untergruppe von Gruppe ..

Question

Gruppe (G,o) . Für ein festes a in G definiere man eine Abbildungfa = { G -> G    , g -> a^-1 o g
Zu zeigen ist , dass alle Abbildungen fa bijektiv sind und H := { fa | a in G } eine Untergruppe von Bij(G) ist .
Wie gehe ich hier vor ?

Comments

Was ist Bij(G)?

Answer 1

eine Abbildung ist bijektiv genau dann wenn sie surjektiv und injektiv ist. Die betrachtete Gruppenverknüpfung bezüglich bijektiver Abbildungen ist die Komposition.

Gruß

Answer 2

Jedes g der Gruppe kann als a^-1 o g'  mit einem geeigneten g' geschrieben werden, zum Beispiel bei der Wahl von g'=a o g. Somit ist fa surjektiv.

Wenn a^-1 o h = a^-1 o h' ist, dann ist  a o a^-1 o h = a o a^-1 o h', also h=h' Somit ist fa injektiv und wegen Surjektivität auch bijektiv.

Comments

Zum ersten Teil ,der die Surjektivität zeigt :

a ist in G , g ist in G , somit ist a o g in G und das wäre dann ein g' , welches in der Schreibweise a^-1 o g' jedes g in G darstellten kann . Habe ich das so richtig verstanden ?

Zum zweiten Teil :

Ich verstehe nicht , warum man von a^-1 o h = a^-1 o h' ausgeht . Man nimmt doch zwei verschiedene Elemente h und h' ?

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Den surjektiven Teil scheinst du verstanden zu haben: wenn g in G liegt, dann ist fa(a o g)=g; jedes g kann also durch Anwendung von fa erreicht werden.

Für den injektiven Teil habe ich angenommen, dass fa(h) = fa(h') ist, und gezeigt, dass dann h=h' sein muss.