Steigung und Ableitung: Wann ist die momentane Änderungsrate des Pulses maximal?

Question

Es geht um die Aufgabe

Während einer Trainingseinheit wird der Puls des Sportlers über 5 Minuten gemessen. Die Funktion

 \( p(t)=-2 t^{3}+9 t^{2}+15 t+75 \)

beschreibt die Pulssequenz (t in Minuten).

a) Berechnen Sie den mittleren Anstieg der Pulsfrequenz während des Trainings.

b) Lösen Sie näherungsweise: Wann ist die momentane Änderungsrate des Pulses maximal?

Mein Antwortsatz bei a) lautet: Der mittlere Anstieg der Pulsfrequenz während des Trainings beträgt 10. Stimmts ?

b) erste Ableitung gleich nullstellen?

Ich muss begründen wrm ich das mache ?

Ich weiss, dass es stimmen könte aber mjr fehlt eine begründung

Answer 1

a) Berechnen Sie den mittleren Anstieg der Pulsfrequenz während des Trainings.

m = (p(5) - p(0)) / (5 - 0) = (125 - 75) / (5 - 0) = 10 min^{-2}

b) Lösen Sie näherungsweise: Wann ist die momentane Änderungsrate des Pulses maximal?

p'(t) = - 6·t^2 + 18·t + 15

p''(t) = 18 - 12·t

Wendepunkt p''(t) = 0

18 - 12·t = 0 --> t = 1.5 min

p'(1.5) = 28.5

p'(5) = - 45

Die Änderungsraten an der Stelle 5 Minuten ist betragsmäßig noch größer. Ich habe das maximal als Miximum gedeutet. Betragsmäßig würde aber auch nach 5 Minuten hinkommen.

Comments

Du solltest dir in jedem Fall noch eine Skizze dazu machen um b) verstehen zu können.

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Danke für die Antwort . Habe b) sehr gut jetzt verstanden Danke

Darf ich bei a) mein Antwortsatz so stehen lassen oder fehtl die Einheit bei 10 ?

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Ich hätte die Einheit notiert. Das ist ja im Sachzusammenhang wichtig.

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Okay Danke Einheit schläge pro min?

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Okay Danke Einheit schläge pro min?

plya

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Schläge pro Minute oder einfach nur min^{-1} ist die Einheit der Frequenz.

Die Änderungsrate der Freguenz ist dann Schläge pro Minute zum Quadrat oder min^{-2}.

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Das reicht als Lösung W ( 1.5 | 111 ) oder???

Da sist doch nicht nörig bzw. gescht doer?

p'(1.5) = 28.5

p'(5) = - 45

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Es langen die 1.5 dort haben wir den maximalen Anstieg. Wie gesagt ist die Absolute änderungsrate bei 5 noch größer.

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Wie kommtst du denn auf 5???

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Reicht wenn ich in der Klausur nur 1.5 hinschreibe ;) ?

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Acsho die 5 hast du von der AUfgabe 5 min oder???

Wieso berechnen wir denn dann 1,5??

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@mathecoach
Der Begriff gefällt mir gut.
ich habe das maximal als Miximum gedeutet.

Aber Scherz beiseite : was wird bei b.) vom Schüler
verlangt ? Untersuchung der Steigung
- am Wendepunkt
und
- das Randmaximum ?

Nachtrag : ich sehe Oswald hat es schon so beantwortet,

Answer 2

a) ist richtig.

Bei b) wird nicht nach der maximalen Pulsfrequenz gefragt, sondern nach der maximalen Änderungsrate. Und bei "näherungsweise" würde ich ein Computerprogramm damit beauftragen, den Graphen zu zeichnen und schätzen wann der am steilsten ist.

Comments

Kann man das auch rechnerisch lösen?

In der Klausur habe ich kein Computerprogramm;)

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Wendepunkt bestimmen (p''(t)=0, p'''(t)≠0). Dort Steigung ausrechnen. Außerdem noch bei t=0 und bei t=5 die Steigungen ausrechnen. Das t mit der maximalen Steigung ist der gesuchte Zeitpunkt

Answer 3

f ( 0 ) = 75
f ( 5 ) = 125

mittlerer Anstieg
125 - 75 = 50 in 5 min
50 / 5 = 10 Schläge / min

b.)
Wann ist der Anstieg maximal ? Am Wendepunkt. 2.Ableitung = 0

f ´´ ( t ) = 18 - 12 * t
18 - 12 * t = 0
t = 1.5 min
W ( 1.5 | 111 )

Mit dem Plotter stehe ich leider aufs Kriegsfuß.
Ich weiß auch nicht warum das so häufig bei mir nicht funktioniert.

~plot~-2*x^3+9*x^2+15*x+75 ; {1.5|111} ; [[0;5;75;125]]~plot~

Comments

Danke auch an Dir:)

Leider kann ich keine Skizze sehen nur dir x-y Achse

Wenn mein antwortsazz so wäre dann wäre er falsch oder weil die einheit fehlt wa ?

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Mach dir selber eine Skizze !!

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Jaa mache ich ja ...

Aber ich wollte nur einen Hinweis geben, dass sein Graph nicht vorhanden ist obwohl seine Achsen da sind

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Der Graph war bei mir vorhanden. Kann man nur nicht sehen wegen einer ungünstigen Achsenskalierung.

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@mathecoach

Ich möchte gern einmal wissen was ich bei diesem Plotter falsch mache.

Ist irgendwo ein Syntaxfehler ?

~plot~-2*x^3+9*x^2+15*x+75 ; {1.5|111} ; [[0;5;75;125]]~plot~

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Oh. Da frag mal lieber den Kai. Ich bevorzuge ja eh meinen Plotter zum zeichnen. Auch wenn das eine große jpg. Datei gibt.