Verständnisproblem Erklärung gesucht

Question

Der Abhang an eienr Küste wird durch die Funktion f(x)=x³-3x²+3x, 0<gleich x <gleich 2 beschrieben (1LE=10m).

Ich habe dazu 5 Aufgaben bekommen von denen ich 2 Nicht verstehen:

1.) Wie steil ist der Hang direkt am Wasser?

Lösungen sagen: f´(x)=3x²-6x+3 , f´(0)=3, alpha 72°

Wie kommt man denn darauf??? Also ich weiß wie man das rechnet aber aber ich verstehe nicht wieso dieser Ansatz?

2.) An welcher Stelle ist der Hang am flachsten?

im Wendepunkt  W(1I1)

Bei x=1 ist der Hang am flachsten, dort beträgt die Steigung null.

Wieso kommt in dieser Aufgabe das Thema Wendepunkte vor obwohl "Wendepunkte" erst später kommen im nächsten Kapitel...

Sollte ich das trotzdem können?

Answer 1

1) Man geht von x=0 an der Küste aus. f'(0) gibt dann die Steigung (also die Steilheit) des Hangs an.

Die Steigung ist gleich  tan(Steigungswinkel) -> Winkel = arctan( Steigung)

2) Die Steigung hat einen Extremwert (ist also am steilsten oder am flachsten, wenn

die Ableitung der Steigung( f ' ) '  also  f '' dort den Wert 0 hat und das Vorzeichen wechselt

( bei Minimum von - -> +).

Das ist aber genau die Bedingung für einen Wendepunkt.

Comments

Ahhh also könnte acuh de Aufgabe heisse,

An welcher Stelle ist der Hang am steilsten???

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Man berechnet doch nicht den Wendepunkt sondern Extrema bzw. Zief punkt oder??

Was hat das nochmal mit wendepunkt zu tun?

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asooo habe gerade Extrema und Wendepunk ausgerechnent Beides ergibt 1I1

Aber in der Klausur berechne ich dann extrema oder ewndepunkt...

es kommt ja nicht immer dasselbe ergebnis raus

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Muss mich korrigieren, ein Sattelpunkt ist ja auch ein Wendepunkt :D.

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Yakya wenn ich die erste ABleitung gleich null setzte kommt 3 raus aber im lsöungsbuch steht 1

Somit ist es doch sinnvoller die 2te ableitung gleich 0 zu setzten

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Ja, das ist schon richtig, natürlich muss man dann aber auch überprüfen, ob es sich wirklich betragmäßig um die kleinste Steigung handelt, dafür reicht die Bedingung f''(x) = 0 nicht aus.

Am "flachsten" bedeutet nicht, dass dort die Ableitung den kleinsten Wert (im Sinne einer reellen Zahl) annimmt sondern  der Betrag der 1. Ableitung am kleinsten ist. Und wenn es eine Stelle gibt bei der die 1. Ableitung 0 ist, dann hat man diesen Fall, flacher geht nicht ;).

Answer 2

Hast du dir bereits eine Skizze gemacht ?

Mach dir mal eine. Anhand der Skizze kannst du das sehr gut nachvollziehen.

Comments

Hier meine Skizze

Answer 3

Hi Plya,

zu 1): Hier ist gefragt was für eine Steigung, der Hang (durch die Funktion beschrieben) am Wasser (d.h.bei x=0) hat. Die 1. Ableitung einer Funktion an einer Stelle \(x\) gibt die Steigung der Tangente an dieser Stelle an (und somit die Steigung des Graphen an dieser Stelle). Aus diesem Grund berechnet man \(m = f'(0)\). Der Zusammenhang zwischen Steigung einer Tangente und dem Steigungswinkel ist:

$$ \tan(\alpha) = m $$

zu 2):  Hier ist gesucht, wo die Steigung betragsmäßig am kleinsten ist. In diesem Fall liegt bei (1/1) ein Sattelpunkt vor, dort ist die Steigung (und somit die 1.Ableitung) gleich 0.

Gruß

Comments

dort ist die Steigung (und somit die 1.Ableitung) gleich 0.

Du meinst die 2te ableitung ?

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Ach im Grunde ist ein Sattelpunkt auch ein Wendepunkt. Und dort sind beide Ableitungen gleich Null.Wenn du nur f''(x) = 0 überprüfst und schaust, ob da ein Wendepunkt vorliegt dann heißt das noch nicht, dass dort die Funktion am flachsten ist.

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Danke was muss ich denn noch weiter machen??

Also ich rechne

f´´(x)=0

f´´(x)=6x-6=0

-->x=1

Und was muss ic jetzt machen?

Du sagst ja es reicht nicht aus

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Zumindest erstmal in die 1. Ableitung einsetzen, den du willst ja wissen, was für eine Steigung du an dieser Stelle hast.

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Dann würde die Steigung 3 betragen??

Im Lösungsbuch steht aber 0

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Deine 1. Ableitung ist vermutlich falsch.

$$ f'(x) = 3x^2-6x+3 $$

$$ f'(1) = 0 $$