Die Kardinalität von Mengen:

Question

was eine Kardinalität ist weis ich. Jedoch verwirrt mich folgende Notation:

Lemma: Sei M eine endliche Menge, dann ist #P(M) > #M. Soweit alles klar.
Beweis: Sei n = #M (n Element der natürlichen Zahlen).
Schreibe M = {x1, ... , xn} dann gilt ∀i∈{1, ..., n}
{xi} ⊂ M Da (nach Lemma) {} ∈ P(M), folgt #P(M) ≥ n+1 > n         q.e.d.

Woher kommt das i aufeinmal? Müsste dann M nicht M = {x1, ... , xi} sein?

Florian T. S.

Comments

Für endliche Mengen gilt übrigens folgendes: Wenn \(\# M=n\) ist, dann ist \(\# \mathcal P(M)=2^n\).

Und auch bei unendlichen Mengen ist die Potenzmenge immer mächtiger als die Menge selbst.

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Danke für die Hinweise Nick!

Answer 1

Schreibe M = {x1, ... , xn} dann gilt ∀i∈{1, ..., n}

Wenn das M genau n Elemente hat,  ( etwa a,b,c,d ...= dann kannst du

M  ja  in der Form { a , b, c, .... } aufschreiben, daran erkennst du

aber nicht wie viele es sind. Deshalb wurde nicht a,b,c ... als Namen

für die Elemente gewählt, sondern x1,  x2 ,  x3,  etc. dann ist das letzte Element xn

und wenn du eine Aussage über alle Elemente von M machen willst, dann

ist allgemein das i-te Element eben xi .

Comments

Alles klar, dann war das wiederum auf die Mengen bezogen. Vielen Dank :-)