Zeigen sie, dass die Kardinalität der Mengen X und Y gleich ist.

Question

Gegeben sind zwei endliche Mengen: X und Y, dessen Kardinalität |X|=m und |Y|=n, wobei n und m ∈ℕ.  Gehen Sie zudem davon aus, dass f:X->Y bijektiv ist. Zeigen Sie, dass n=m.

Ja, da stehe ich mit einem großen Fragezeichen.

Beim Induktionsschritt zeigt man, dass die Hypothese für ein beliebiges n gilt und dann für n+1. Aber in diesem Fall, weiß ich nicht einmal wie ich das für n=1 zeigen sollte...

Answer 1

|Y|=n

Das heißt üblicherweise, dass eine bijektive Abbildung z_Y: Y→{1, 2, ..., n} existiert.

dass f:X->Y bijektiv ist

Konstruiere aus f und z_Y eine bijektive Abbildung z_X: X→{1, 2, ..., n}.

Comments

Mithilfe der Induktion? Es soll ausdrücklich mithilfe einer Induktion gezeigt werden. Da habe ich leider keinen Ansatz..

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Du könntest mittels Induktion über n zeigen, dass sich für jedes n∈ℕ mittels f und z_Y eine bijektive Abbildung z_X: X→{1, 2, ..., n} konstruieren lässt. Du musst ja die Bijektivität deiner konstruierten Abbildung irgendwie beweisen.

Answer 2

f bijektiv ⇔ f injektiv und f surjektiv

f injektiv  →  für je 2 verschiedene x∈X  gibt es verschiedene Funktionswerte in Y  →  m ≤ n

f surjektiv  →  für jedes y∈Y  gibt es ein Urbild in X    →  n ≤ m

           da f eine Funktion ist, müssen diese Urbilder verschieden sein

daraus ergibt sich n = m

Gruß Wolfgang

Comments

Wie zeige ich dass mithilfe der Induktion? Würde es gerne auch mithilfe der Definitionen erklären, aber es wurde ausdrücklich eine Induktion gewünscht.