Bernoulli Experiment, Käfer

Question

Ein Käfer beginnt zur Zeit 0 im Ursprung eines Koordinatensystems eine Wanderung, bei der er in jeder Minute seine Position um eine Einheit nach rechts oder oben zufällig ändert.

a) Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Käfer nach 12 Minuten im 

Punkt P (7/5) ist.

b) Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Käfer dabei über den 

Punkt Q (3/4) zum Punkt P gelangt

c) Berechne, welche Strecke der Käfer im Mittel nach 12 Minuten in

x- Richtung zurückgelegt hat

Also für a) hatte ich:

n= 12 (weil er ja nur 12 Minuten unterwegs ist)

p= 0,5 (da ja die Wahrscheinlichkeit 1/2 ist, ob er nach rechts oder nach oben

geht)

k= ?

Ich habe im Internet mal geguckt, wo steht, dass k= 7 ist..Das wollte ich aber so nicht übernehmen, weil ich es nicht so richtig nachvollziehen kann. Wenn ich k hätte, könnte ich dann alles problemlos in die Formel einsetzen

Für b) und c) habe ich leider noch keine Ideen.

Fällt euch eventuell etwas ein?

:)

Answer 1

Ich habe im Internet mal geguckt, wo steht, dass k= 7 ist..Das wollte ich aber so nicht übernehmen, weil ich es nicht so richtig nachvollziehen kann

Die 7 erklärt sich dadurch, dass er bei (5|7) nur ankommen kann, wenn er genau 7 mal nach oben

geht.  Egal ob erst 7 mal nach oben und dann 5 mal nach rechts

oder 1 mal nach oben 5 mal nach rechts und dann 6 mal nach oben etc.

also mit k=7   n=12 und p=0,5 kommt es hin

genausogut hätte man aber

k=5 n=12 p=5   sagen können, wegen 5 mal nach rechts.

Kommt bei bedien das gleiche raus.

Comments

Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Käfer dabei über den 

Punkt Q (3/4) zum Punkt P gelangt

zum Punkt Q kommt er - wenn überhaupt - nach 7 Schritten.

mit der Wahrscheinlichkeit, die sich für n=7 p=0,5 k=3 (0der k=4)

ergibt. Gleiches Argument wie bei a) .

Und von Q nach P  mit n=5 k=2 p=0,5

Und diese beiden Ergebnisse multiplizieren,

denn es muss ja erst das eine, dann das andere

Ereignis eintreten.

c ) Erwartungswert bei 12 Schritten mit p=0,5

ist 6.  Also im Mittel 6 Schritte nach rechts.

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1.  k = 2   ?

2.  Und dann ...

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Und dann ... Was ?

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Vielen Dank schon mal dafür!

Also ist n bei b) 7 weil er 7 Schritte bis Q braucht.

Aber warum k=3 ODER k=4?

Und warum ist bei a) k=7?

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Und dann ... Was ?

Wahrscheinlichkeit berechnen

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bei a) ist es k=7, weil k die Anzahl der Schritte nach rechts

(Das hatte ich in meiner Antwort vertauscht mit oben) angibt.

(Könnte man auch andersherum machen, aber nehmen wir das mal so)

Die 7 erklärt sich dadurch, dass er bei (5|7) nur ankommen kann,

wenn er genau 7 mal nach rechts geht. 

Egal ob erst 7 mal nach rechts und dann 5 mal nach oben

oder 1 mal nach rechts 5 mal nach oben und dann 6 mal nach rechts etc.

Alle Wege, bei denen er von 12 Schritten 7 nach rechts macht führen zu P.

Alle anderen nicht.

bei b) entsprechend.

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Wahrscheinlichkeit Binomialverteilt mit n=12  k=7 und p=12 ist

p( X=7) = (12 über 7) * o,5^7  * 0,5^5

= 792 * / 4096 = 19,3%

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Oh vielen Dank!!

Jetzt hab ichs verstanden! :)

Aber man könnte auch theoretisch die 7 durch die 5 ersetzen? oder ist es irgendwie vorgeschrieben, dass k die Anzahl der Schritte nach rechts und nicht nach oben ist?

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Ist egal, rechne mal beides durch, kommt das Gleiche raus.