Bestimmen eine ganzrationalen Funktion 3. Grades anhand der gegebenen Bedingungen

Question

Wir müssen eine ganzrationale Funktion 3. Grades bestimmen.

Geg: W ( 1/ 1)

A (-1/ 2)

B (2 / -1)

daraus ergibt sich : f(1)= 1 , f(-1)= 2 , f(2)=-1 , f '' (1)=0

außerdem weiß ich ja:

f(x)= ax^3+bx^2+cx+d

f '(x)= 3ax^2+2bx+c

f ''(x)= 6ax+2b

Wie kann ich jetzt daraus die Koeffizienten bestimmen?

Comments

Du hast 4 Koeffizienten und 4 Informationen, die du schon richtig aufgeschrieben hast. Jetzt musst die Informationen in die Gleichungen einsetzen, z.B. f''(1)=0 ergibt f''(1)=6a+2b=0. Das machst du auch mit den anderen Informationen. Du erhältst 4 Gleichungen, die du dann miteinander verrechnen musst um die Koeffizienten zu bestimmen. Alles klar? Wenn du Probleme hast, melde dich wieder!

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Dankeschön!

Das hab ich auch schon gemacht und kam dann auf diese 4 Gleichungen

a   +b   +c   +d = 1

-a  +b    -c    +d = 2

8a  +4b  +2c +d = -1

6a +2b               = 0

Jetzt müsste ich es ja eigentlich schaffen die Gleichungen so miteinander zu "kombinieren", dass ich die Koeffizienten alleine stehen habe... aber ich habe schon mehrmals verschiedene Umformungen ausprobiert und schaffe es nicht, eine der Koeffizienten auszurechnen.. :(

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Ich nummeriere die Gleichungen in der Reihenfolge, in der du sie geschrieben hast.

Es bietet sich an mit (4) zu beginnen, da nur zwei Koeffizienten vorkommen - löse am besten nach b auf, da kommen schönere Zahlen raus.

Wenn man sich (1) und (2) genau ansieht, fällt auf, dass a und c genau die gegenteiligen Vorzeichen haben, man kann hier also das Additionsverfahren super anwenden. (Erinnerung: du addierst jeweils die rechten und linken Seiten der beiden Gleichungen, dann bleiben nur b und d übrig) das löst du nach d auf.

Versuch den Rest mal selbst

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Danke aber bis dahin hatte ich es sorgar schon selbst geschafft :D

Answer 1

I   a   +b   +c   +d = 1

II -a  +b    -c    +d = 2

III 8a  +4b  +2c +d = -1

IV 6a +2b               = 0

I auf II addieren ergibt:

II' 2b + 2d = 3

II mit 2 malnehmen:

-2a +2b -2c +2d = 4

das auf III addieren:

III' 6a + 6b + 3d = 3

II' umstellen nach d:

d = 3/2 - b

Jetzt IV umstellen nach a:

a = -1/3b

II' und IV in III' einsetzen:

6 (-1/3b) + 6b + 3(3/2 - b) = 3

-2b + 6b + 9/2 - 3b = 3

b = -1,5

a = 0,5

einsetzen in III'

6*0,5 + 6*(-1,5) +3d = 3

d = 3

einsetzen in I:

0,5  - 1,5 + c + 3 = 1

c = -1

Damit bekommst du:

f(x) = 0,5x^3 - 1,5 x^2 - x + 3

~plot~0,5x^3-1,5x^2-x+3~plot~