Vollstänige Induktion Summe (n über k=0) 1/k! <= 3 - 1/(n+1) für alle n element von N n>=4

Question

Guten Tag

Habe Probleme beim Induktionsschluss dieser Aufgabe. Kann mir bitte jemand den weiteren Lösungsverlauf zeigen?

Muss ich vielleicht noch auf irgendetwas achten , da es ja um eine Ungleichung handelt?

Comments

Am Anfang der letzten Zeile müsste stehen \( =3-\frac{(n+1)!-n}{n(n+1)!} \)

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ist mir nicht klar warum. wieso - anstatt +

?

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\(3-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)!}\\ = 3+\frac{-1}{n}+\frac{1}{(n+1)!}\\ = 3+ \frac{-(n+1)!}{n(n+1)!}+\frac{n}{n(n+1)!}\\ = 3+\frac{-(n+1)!+n}{n(n+1)!}\\ = 3-\frac{(n+1)!-n}{n(n+1)!} \)

Answer 1

und wenn du das korrekte Ergebnis mit n kürzt, gibt es

... = 3 -  ((n-1)! * (n+1) - 1 ) / (n+1)!

=  3 -  (n*(n-1)! +1*(n-1)!  - 1 ) / (n+1)!

=  3 -  (n! +(n-1)!  - 1 ) / (n+1)!

und    n! +(n-1)!  - 1 ist für n ≥ 4 sicherlich größer als n!

( weil  (n-1)!  - 1 > 0 )

also kannst du das Ergebnis # abschätzen durch

≤  3 -   n!  / (n+1)!    =   3 - 1 / (n+1)

Denn wenn von der 3 was größeres abgezogen wird,

wird ja das Ergebnis kleiner.

Comments

Hab glaub ich alles verstanden außer deine 2. zeile.

Ich kann nicht nachvollziehen wie du darauf gekommen bist. Kannst du nur von deiner 1. zur 2. zeile mir das etwas genauer erläutern?

Danke

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.. = 3 -  ((n-1)! * (n+1) - 1 ) / (n+1)!

ich habe die Klammer um (n+1) aufgelöst.

und weil da (n-1)! vor stand, gibt das ja

(n-1)!*n + (n-1)!*1   und dann die Reihenfolge der

Faktoren rumgedreht.

=  3 -  (n*(n-1)! +1*(n-1)!  - 1 ) / (n+1)!