Wieso Zahl hoch 0 gleich 1?

Question

Ich bin 9. Klässler auf dem Gymnasium. Wir haben letztens mit der Potenzfunktion angefangen und da kam mir die Frage:

Wieso ist eine Zahl mit dem Exponenten 0 immer gleich 1?

x^0 = 1

Ich hoffe jemand kann mir helfen!

Answer 1

Was sonst noch geht:

$$x^0 = x^{1-1} = x^1 \cdot x^{-1} = x \cdot x^{-1} = x \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = \frac{1}{1} = 1 \ . $$

Das ganze gilt nur, wenn x ungleich 0 ist, da wir beim Kürzen ja durch x teilen. Wenn x=0 gelten würde, würden wir durch 0 teilen und das ist "verboten". Habe es jetzt etwas ausführlicher gemacht und die Formel

$$x^y = \frac{1}{x^{-y}}$$

benutzt. Die restlichen Schritte sollten klar sein.

Answer 2

a^3 = 1 * a * a * a

a^2 = 1 * a * a

a^1 = 1 * a

a^0 = 1

a^{-1} = 1/a

a^{-2} = 1/(a * a)

a^{-3} = 1/(a * a * a)

Answer 3

Die meisten denken beim Potenzieren an den leichtesten Spezialfall:

 "ganze Zahlen größer 0"

Dabei bedeutet Potenzieren mit reellen Zahlen:

a^x = e^{log(a)*x} =exp(log(a)*x) 

bei x=0 bedeutet das innere der Klammer: Produkt mit 0 bleibt 0

(außer Polstellen wie + oder - UNENDLICH)

Über bleibt also e^0 = exp(0)

Exponentialfunktion kann z.B. per Reihenentwicklung beliebig genau berechnet werden:

e^x = 1 + x/1! +x²/2!+... 

 bei x=0 bleibt 1 über -> fertig.

Auch die Grafik lässt niemand zweifeln, dass beliebiges a hoch 0 nur 1 sein kann:

siehe Bild per 

http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm

Answer 4

Warum ist z.B. \( 4^{0}=1 \) ?

\( 4^{2}=16 \)

\( 4^{1}=4 \)

\( 4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2 \)

\( 4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{3} ≈1,4422\)

\( 4^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3} ≈1,32\)

\( 4^{\frac{1}{10}}=\sqrt[10]{3} ≈1,12\)

Die Exponenten werden immer kleiner, sie laufen gegen 0

Es kann aber als Lösung keine Zahl herauskommen, die kleiner als 1 ist.

Käme z. B. bei

\( 4^{\frac{1}{1000}}=\sqrt[1000]{4} ≈0,99\) heraus, so müsste    \(0,99^{1000}\) wieder 4 ergeben.

Das tut es aber nicht  \(0,99^{1000}≈0,0004\)

Somit ist jede Zahl hoch 0 immer 1.

Comments

\( 4^{\frac{1}{1000}}=\sqrt[10]{1000}\)

Wieder Quatsch vom Feinsten.

Und ein Beweis ist das auch nicht. Betrachte die Potenzen zur Basis \(0,5\). Dort kommen sehr wohl Werte kleiner als 1 raus. Und wieso ist mit dieser Argumentation nicht \(4^0=1,000001\)? Es ist ja gar nicht gesichert, dass 1 herauskommt.

Sorry, aber mit Mathematik hat das einfach nichts zu tun.

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Ich habe einiges verbessert.

Klar, wenn 0,5 potenziert wird kommt schon Kleineres als 1 heraus. Wenn aber der Exponent immer kleiner wird, so nähert sich der Wert immer mehr der 1.

\( 0,5^{3}=0,125 \)

\( 0,5^{2}=0,25 \)

\( 0,5^{1}=0,5 \)

\( 0,5^{\frac{1}{2}}≈0,707 \)

\( 0,5^{\frac{1}{10}}≈0,933 \)

\( 0,5^{\frac{1}{1000}}≈0,999 \)

Ein strenger Beweis mag das nicht sein, aber kurz vor dem Abi 1967 ist das so gezeigt worden.

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Der fragende 9.Klässler wird hoffentlich mittlerweile, nach Studium/Berufsausbildung, erfolgreich im Berufsleben stehen und zum Glück hier nicht mehr mitlesen.

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kurz vor dem Abi 1967 ist das so gezeigt worden

Das wage ich stark zu bezweifeln. Damals war das Niveau in Mathematik definitiv wesentlich höher. Das mag eher ein "lausiger Beweis" für die heutige Zeit sein.

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Ich nehme an, Moliets redet von seinem eigenen Abi. Diese Aussage kann man dann nicht widerlegen.

Generell war damals das Niveau wesentlich höher als heute, heißt aber nicht, dass ausnahmslos überall auf höherem Niveau gearbeitet wurde.

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Schaut mal hier:

https://www.mathelounge.de/115446/potenzen-beweise-dass-5-hoch-0-gleich-1

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Generell war damals das Niveau wesentlich höher als heute, ...

Ok - ich will dem gar nicht widersprechen; aber: woher wisst Ihr das? Gibt es da 'ne seriöse Studie?

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Man definiere NIVEAU! Kriterien? Beispiele? Was heißt WESENTLICH?

Was hat sich an welchem Wesen geändert?

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Gibt es da 'ne seriöse Studie?

Literatur, sprich, alte Schulbücher und Abituraufgaben. Auch lassen sich sicherlich die Lehrpläne vergleichen.

Answer 5

4^4 / 4^4 = 1
4^(4 - 4) = 4 ^0 = 1

Comments

Das ist lediglich eine Wiederholung einer bereits existenten Antwort. Den allgemeinen Fall hat Yukawah in seiner Antwort bereits behandelt.

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Ja, na und ?

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Wenn du eine Frage beantwortest, die schon beantwortet worden ist, dann bitte nur, wenn du etwas Eigenständiges hinzufügen kannst und nicht, wenn du nur das wiederholst, was andere vor dir schon geschrieben haben.

Quelle: https://www.mathelounge.de/faq#qu64

Nichts "na und".

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Sei nachsichtig mit gb. Die Qualität und der Nutzwert seiner Antworten sind zwar mit denjenigen von Mo. vergleichbar, er tut sowas aber deutlich seltener.