Wie berechnet man Nullstellen? Extrem- und Wendepunkte?

Question

f(x) = x^4-4x^3-12x^2

Kenne das nur mit gleich Null setzen und nach x auflösen, aber hier geht das ja nicht.

Wie geht man hier vor?

und wie berechne ich hier die Extrem- und Wendepunkte?

Answer 1

f(x) = x^4 - 4·x^3 - 12·x^2 = 0

Ausklammern und Satz vom Nullprodukt. Dann Satz von Vieta oder pq-Formel.

x^2·(x^2 - 4·x - 12) = 0

x = 0 (doppelte Nullstelle)

x = 6 ∨ x = -2

Extrempunkte f'(x) = 0

4·x^3 - 12·x^2 - 24·x = 0

x = 3/2 ± √33/2 ∨ x = 0

Hier auch wieder Ausklammer und Satz vom Nullprodukt anwenden.

Wendepunkte f''(x) = 0

12·x^2 - 24·x - 24 = 0

x = 1 ± √3

Bei den Extrempunkten und Wendepunkten sollten noch die y-Koordinaten bestimmt werden. Wegen dem Vorzeichenwechselkretierim braucht man die hinreichende Bedingung nicht zu bemühen.

Answer 2

x^4-4x^3-12x^2=0

1.)Ausklammern von x^2:

x^2(x^2-4 x -12)=0

2.)Satz vom Nullprodukt :

x^2=0

->x_1.2=0

3.) x^2-4 x -12=0 ->pq-Formel

x3.4= 2±√4+12)

x_3=6

x_4=-2

Extrempunkte :1 .Ableitung 0 setzen

f'' (x)<0 -->Hochpunkt

f''(x)>0 --->Tiefpunkt

Wendepunkte 2. Ableitung 0 setzen

Hier ein Link dazu :

http://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion/

Answer 3

mit dem Null ist schon richtig, hier kann man zusätzlich das Distributivgesetz anwenden.

0= x^4-4x³-12x²         | x² ausklammern

0= x² ( x² -4x-12)        zwei Nullstellen sind dann schon null x_1,2= 0

o = x²-4x -12           | pq-Formel anwenden

x_{3,4   =}   2 ±√ 4+12

x_3,4 = 2 ± 4                                                                              x₃= 6      x₄= -2