Bestimmen Sie die Nullstellen und die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion f_{a} in Abhängigkeit von a.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Schar von Funktionen \( f_{a} \) durch \( f_{a}(x)=\frac{x}{a} \cdot e^{a x}, \quad x \in \mathbf{R} \) mit einer positiven reelen Zahl \( a \). Der Graph der Funktion \( f_{0,5} \) ist unten dargestellt.

a) Bestimmen Sie die Nullstellen und die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion \( f_{a} \) in Abhängigkeit von \( a \).

Ansatz/Problem:

Ich kriege die dritte Ableitung nicht hin.

Answer 1

f ' (x) =( x+ 1/a) * e ^ax         f ' ' (x) = (ax + 2) * e ^ax     

und jetzt f ' ' ' (x) = ( x*a^2 + 3a ) * e ^ax        

3. Ableitung herleiten mit Produktregel ?

f ' ' ' (x) = a *  e ^ax     +  (ax + 2) *a* e ^ax     

      =    a *  e ^ax     +  (a^2 x + 2a) * e ^ax          e ^ax    ausklammern

     =     ( a    +  (a^2 x + 2a)) * e ^ax    

   =   ( x*a^2 + 3a ) * e ^ax