Untersuchen Sie die Graphen der Funktionen f_{k} auf Extrem- und Wendepunkte. Skizzieren Sie den Graphen.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen \( f_{k} \) mit \( f_{k}(x)=x^{4}-k x^{2}, k \in \mathbb{R} \).

a) Untersuchen Sie die Graphen der Funktionen \( f_{k} \) auf Extrem- und Wendepunkte. Skizzieren Sie den Graphen für \( k=-2 \) und für \( k=2 \)

b) Bestimmen Sie die Ortslinie für die Tiefpunkte aller Funktionsgraphen.

c) Es sind \( x_{e} \neq 0 \) eine Extremstelle und \( x_{w} \) eine Wendestelle von \( f_{k} \) für \( k>0 \).

Zeigen Sie: Das Verhältnis \( \frac{x_{e}}{x_{n}} \) hängt nicht von \( \mathrm{k} \) ab. Was bedeutet diese Aussage?

Bei a muss man ja das Vorzeichenwechselkriterium anwenden, damit sicher bestimmt werden kann dass es sich um extremstellen handelt...

Kann mir jemand vorrechnen, wie das Vorzeichenwechselkriterium für die Extremstellen bei der ersten Ableitung aussieht?

Answer 1

f(x) = x^4 - k·x^2

f'(x) = 4·x^3 - 2·k·x = 0

x = 0 ∨ x = ±√(k/2)

Also wir haben eine potentielle Extremstelle bei 0 und für k >= 0 noch bei ±√(k/2). Für k < 0 gibt es nur eine Extremstelle bei 0 und damit den Tiefpunkt.

Setzte ich mal für k in die 1. Ableitung 0 ein

f0'(x) = 4·x^3 --> Hier haben wir ein Vorzeichenwechsel bei 0 und damit eine Extremstelle (Tiefpunkt)

Für k > 0

f'(x) = 4·x^3 - 2·k·x = x*(4·x^2 - 2·k)

Haben wir 3 einfache Nullstellen und damit 2 Tief und einen Hochpunkt.