Untersuchen Sie K_{0,5} auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeigen Sie, dass f_{0,5} eine Nullstelle hat.

Question

Aufgaben:

Für jedes \( t \in \mathbb { R } _ { + } ^ { * } \) ist die Funktion \( f_t \) gegeben durch:

$$f _ { t } ( x ) = t x ^ { 3 } + 2 t x ^ { 2 } - 1 ; \quad x \in \mathbb { R }$$

a) Untersuchen Sie K_{0,5} auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K_{0,5} im Bereich -3 < x < 2 mit 1 LE = 1 cm.

b) Zeigen Sie, dass f_{0,5} im Intervall [0; 1] eine Nullstelle hat. Berechnen Sie diese Nullstelle mit einem Näherungsverfahren auf zwei Nachkommastellen gerundet.

c) Berechnen Sie die gemeinsamen Punkte von K_{0,5} mit der Geraden g: y = 2x + 3. Zeichnen Sie g in das vorhandene Koordinatensystem ein. K_{0,5} und g schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein. Berechnen Sie A.

d) Zeigen Sie, dass alle Schaubilder K, zwei Punkte gemeinsam haben und bestimmen Sie deren Koordinaten. Geben Sie die Gleichung der Geraden an, auf der alle Hochpunkte von K, liegen.

e) \( F_t \) sei eine Stammfunktion von \( f_t \). Bestimmen Sie t so, dass das Schaubild von \( F_t \) durch die Punkte \( Q ( 1 | - \frac { 8 } { 3 } ) \) und \( \mathrm { R } ( - 3 | 4 ) \) geht.

Answer 1

Für a)

Wir betrachten die Funktion:

$$K_{0.5}=f_{0.5}=(x)=0.5x^3+x^2-1 $$ 

Also eigentlich t=0.5 eingesetzt.

Für den Hochpunkt gilt f'=0 und f''<0. Für den Tiefpunkt f'=0 und f''>0.

Für den Wendepunkt gilt f''=0 und f'''≠0.

Das heisst du beginnst am besten mal mit den Ableitungen, schreib doch mal die ersten drei Ableitung auf.

Wenn du diese hast, weisst du für Hoch- und Teifpunkte: erste Ableitung =0, also setzst du diese gleich null und löst nach x auf, nun erhältst du i.d.R. mehrere Werte für x, diese Werte musst du nun einzeln in die zweite Ableitung einsetzen und überprüfen ob es Hoch- oder Tiefpunkte sind. Die Bedingungen siehst du oben. 

Beim Wendepunkt machst du's genauso, einfach beginnst du mit 2.Ableitung=0 und überprüfst dann mit der 3.Ableitung.

Fragen beantworte ich gerne.