Aufgaben:
Für jedes \( t \in \mathbb { R } _ { + } ^ { * } \) ist die Funktion \( f_t \) gegeben durch:
$$f _ { t } ( x ) = t x ^ { 3 } + 2 t x ^ { 2 } - 1 ; \quad x \in \mathbb { R }$$
a) Untersuchen Sie K_{0,5} auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K_{0,5} im Bereich -3 < x < 2 mit 1 LE = 1 cm.
b) Zeigen Sie, dass f_{0,5} im Intervall [0; 1] eine Nullstelle hat. Berechnen Sie diese Nullstelle mit einem Näherungsverfahren auf zwei Nachkommastellen gerundet.
c) Berechnen Sie die gemeinsamen Punkte von K_{0,5} mit der Geraden g: y = 2x + 3. Zeichnen Sie g in das vorhandene Koordinatensystem ein. K_{0,5} und g schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein. Berechnen Sie A.
d) Zeigen Sie, dass alle Schaubilder K, zwei Punkte gemeinsam haben und bestimmen Sie deren Koordinaten. Geben Sie die Gleichung der Geraden an, auf der alle Hochpunkte von K, liegen.
e) \( F_t \) sei eine Stammfunktion von \( f_t \). Bestimmen Sie t so, dass das Schaubild von \( F_t \) durch die Punkte \( Q ( 1 | - \frac { 8 } { 3 } ) \) und \( \mathrm { R } ( - 3 | 4 ) \) geht.