δ(t)*cos(t)=δ(t)*1? Wie kommt man da drauf? Delta Funktion

Question

könnt ihr mir die obige Gleichung bitte erklären. Man muss bei bei cos(t) 0 als t einsetzen, allerdings ist mir nicht klar warum dies so ist.

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Distribution_(Mathematik)#Multiplikation_mit_einer_Funktion

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damit kann ich leider auch nichts anfangen

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Dann wirst Du wohl darlegen muessen, womit Du was anfangen kannst. Speziell: wie habt ihr \(\delta\) definiert?

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Wir hatten die Dirac Funktion bisher besonders mit dieser Eigenschaft behandelt

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Aha. Du hast also gar keine belastbare Definition der \(\delta\)-"Funktion", sondern nur diese magische Wunscheigenschaft.

Stelle es Dir dann so vor: \(\delta\) verschwindet für \(x\ne0\) und wird für \(x=0\) auf so magische Weise unendlich, dass \(\int_\mathbb{R}\delta(x)\,dx=1\) gilt.

Das Produkt von \(\delta\) mit einer beliebigen Funktion \(f\) ist dann so erklaert: \(f(x)\delta(x):=f(0)\delta(x)\), denn \(\delta\) verschwindet ja für \(x\ne0\) eh.

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Hallo Gast, eine so schöne Ausführung kann man doch auch als Antwort formulieren :).

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Aber, warum gilt nicht f(x)δ(x):=δ(x) ??? Wenn die delta Funktion 0 ist wird das Ergebnis 0 und wenn sie unendllich ist, wird 

das Ergebnis unendlich unabhängig mit welchem Wert f(x) ich es multiplixiere oder nicht?

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Es gibt ueberhaupt keine Funktion \(\delta\)  im ueblichen Sinne, die die Wunscheigenschaften hat. Es ergibt daher wenig Sinn, nach dem Wert \(\delta(0)\) zu fragen, oder damit gar rechnen zu wollen. Die Dirac-Funktion wirkt nur im Zusammenhang mit Integralen auf die postulierte Weise: $$\int_\mathbb{R}\delta(x)\,dx=1$$ und $$\int_\mathbb{R}f(x)\delta(x)\,dx=f(0)$$ Wenn das mit den ueblichen Rechenregeln funktionieren soll, dann muss $$f(x)\delta(x)=f(0)\delta(x)$$ sein. Wenn Dir das nicht reicht, dann musst Du in die Theorie der Distributionen einsteigen.

Answer 1

die Deltafunktion erfüllt per Definition

\( \int f(x) \delta(x) dx = f(0) \).

Wegen \( \int \delta(x) dx = 1 \) kann man schreiben

\( \int f(x) \delta(x) dx = f(0) = f(0) \int \delta(x) dx = \int f(0) \delta(x) dx \).

Vergleicht man nun die Integranden, lässt sich schlussfolgern, dass

\( f(x) \delta(x) = f(0) \delta(x) \)

ist. Dies gilt insbesondere für \( \cos(x) \): Es ist \( \cos(0) = 1 \) und damit

\( \cos(x) \delta(x) = 1 \delta(x) \).

Mister