Zeigen Sie, dass I+J und I∩J Ideale in K sind, wenn K ein kommutativer Ring und I und J Ideale sind.

Question

Sei K ein kommutativer Ring und seien I, J Ideale in K. Zeigen Sie, dass

$$I + J : = \{ i + j | i \in I , j \in J \} \text { und } I \cap J$$

ebenfalls Ideale in K sind.

Answer 1

Eine Teilmenge I eines Ringes R ist ein Ideal wenn folgendes gilt:

$$\forall a,b \in I, a-b \in I \\ \forall a \in I, r \in R, ra \in I$$

Kannst du diese 2 Eigenschaften für I+J und I ∩ J zeigen, gegeben dass I und J Ideale sind?

Comments

evinda: Schön, dass du dich an die alten Fragen machst. Nur Rückfragen nützen nach drei Jahren vermutlich nicht mehr viel. Und wer als nächster mit der gleichen Aufgabe konfrontiert ist, reagiert dann eventuell auf deine Frage in zwei, drei Jahren mal mit einem "nein".

Vielleicht möchtest du als Beispiel eine der Eigenschaften für einen Fall vorrechnen (?).

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$$\text{Seien a,b}  \in  I \cap J \text{. Dann } a \in I, a \in J \text{ und } b \in I, b \in J .$$

Da I und J Ideale sind, folgt es dass

$$a-b \in I \text{ und } a-b \in J \Rightarrow a-b \in I \cap J$$

Wieder weil I,J Ideale sind, haben wir dass $$ra \in I \text{ und } ra \in J, \forall r \in R \Rightarrow ra \in I \cap J, \forall r \in R$$