Zeige, dass die Menge M = {A Teilmenge von N : A ist endlich oder N\A ist endlich} abzählbar ist

Question

N= Naütrliche Zahlen

Zeige, dass die Menge

M = {A Teilmenge von  N : A ist endlich oder N\A ist endlich}

abzählbar ist. Dazu darf man den folgenden Satz (ohne Beweis) verwenden: Sei

Mm, n element von N, eine abzählbaire Familie abzählbarer Mengen. Dann ist die Vereinigung

M = U_neN Mn eine abzählbare Menge. (Siehe z.B. Forster, Analysis l, Satz l in §9)

1. Teil:

Es sei M die Menge aller endlichen Teilmengen von A _{teilmenge von} N mit x grösser gleich n für alle x element von A.

Offenbar ist M endlich und für die Menge B(N) aller endlichen Teilmengen von N gilt:

B(N) = U_n=0^unendlich M

Als abzählbare Verinigung abzählbarer Mengen ist B(N) abzählbar nach Satz 1 von Forster.

Kann ich das zum ersten Teil so sagen?

Zum Teil 2:

Wie kann ich zeigen dass N/A abzählbar ist?

Comments

Hat es etwas mit dem Cantorschen Diagonalverfahren zu tun?

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Du darfst nicht voraussetzen, dass N abzählbar ist?

Wie habt ihr "abzählbar"  genau definiert?

Answer 1

Betrachte zunaechst \(M_1=\{A\subset\mathbb{N}:A\,\,\mathrm{endlich}\}\). Jetzt musst Du Dir ueberlegen, wie man die Elemente von \(M_1\) in der Form einer unendlichen Liste schreiben kann, in der jedes Element irgendwann mal auftaucht. Dazu gibt es mehrere Moeglichkeiten. Wenn Du den zitierten Satz benutzen willst, dann schau unten unter "Aehnliche Fragen".

Andere Moeglichkeit: Ordne jedem \(A\) eine Folge \((a_i)\) von Nullen und Einsen zu mit \(a_i=1\) falls \(i\in A\) und \(a_i=0\) sonst. Da \(A\) endlich ist, kommen irgendwann nur noch Nullen vor. Dann kannst Du abbrechen, die Folgenglieder von rechts nach links lesen, und als Binaerzahl interpretieren. Damit hast Du direkt eine Bijektion von \(M_1\) nach \(\mathbb{N}\) konstruiert.

Fuer \(M_2=\{A\subset\mathbb{N}:\overline{A}\,\,\mathrm{endlich}\}\) musst Du Dir klarmachen, dass jede Menge aus \(M_2\) gerade das Komplement einer Menge aus \(M_1\) ist.

Viel Spass!