Zeige dass die folgenden Folgen Nullfolgen bilden. an = (n)/(n^3+n^2+1)

Question

Zeige, dass die folgende Folge (a„) n grösser als 1 jeweils Null-

folgen bilden:

an = (n)/(n³+n²+1)

Hinweis: Zeige, dass zu jedem E > 0 ein Index N e N existiert, so dass lanl < E für

alle n element von N gilt. Dabei kommt es nicht darauf an, ein “optimales” N zu finden; es

darf grosszügig abgeschätzt werden.

Ich verstehe das mit em Epsilon noch nicht ganz, kann mir es jemand an diesem Beispiel wie ich auf ein N komme im allgemeinen.

Answer 1

Sei \(\varepsilon>0\) beliebig vorgegeben. Wähle \(N\in\mathbb N\) so groß, dass \(N>\frac1{\sqrt\varepsilon}\) ist.
Dann gilt für alle \(n\in\mathbb N\) mit \(n>N\)$$\vert a_n\vert=\left\vert\frac n{n^3+n^2+1}\right\vert<\frac n{n^3}=\frac1{n^2}<\frac1{N^2}<\varepsilon.$$Daraus folgt die Behauptung.

Comments

wie bist du jetzt auf dieses N> 1/sqrt(e) gekommen? raten oder gibt es da einen Trick?

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$$ an= \frac{sin^2(n)+(cos(n))^3}{\sqrt{n}}$$

Was wäre hier das Epsilon?

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Das \(\varepsilon>0\) ist beliebig. Du musst ein \(N\in\mathbb N\) in Abhängigkeit von diesem \(\varepsilon\) finden, für das \(\vert a_n\vert<\varepsilon\) für alle \(n>N\) gilt.
Hier kannst du den Zähler betragsmäßig durch \(2\) nach oben abschätzen,
d.h es gilt \(\vert a_n\vert<\frac2{\sqrt n}\).
Nun soll \(\frac2{\sqrt n}<\varepsilon\) gelten, was für  \(n>\frac4{\varepsilon^2}\) der Fall ist.
Wähle also ein \(N\), für das  \(N>\frac4{\varepsilon^2}\) gilt.