Menge zeichnen: Im(1+z^2)=0

Question

ich bräuchte kurz einen Ansatz, wie ich das da oben berechne/skizziere.

Vielen Dank

Comments

Heisst das, dass der Imaginäre Teil von 1+ z^2 immer gleich 0 ist?

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anscheinend ja

Answer 1

Die 1 hat keinen Einfluss auf dem Imaginärteil.

Im(1 + z²) = Im(z²)

z = Re(z) + Im(z) * i

z² = Re(z)² - Im(z)² + 2 * Re(z) * Im(z) * i

Im(1 + z²) = Im(z²) = 2 * Re(z) * Im(z) = 0             (nach Voraussetzung)

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist.

⇔ (Re(z) = 0 ∨ Im(z) = 0)

L = {z∈ℂ | Re(z) = 0 ∨ Im(z) = 0}

Anschaulich umfasst die Lösungsmenge alle Zahlen, welche direkt auf der Realachse oder auf der Imaginärachse liegen. Die Lösungsmenge bildet ein Kreuz auf der komplexen Zahlenebene.

Comments

Wenn ich das in Wolframalpha eingebe, bekomme ich einfach nur "true" als Ergebnis und sehe in der Zeichnung nichts?!

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Was hast du denn genau in Wolframalpha eingegeben?

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Creud: Du kannst genau die gegebene Formel eingeben.

Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=Im%281%2Bz%5E2%29+%3D+0

sesamöffnedich: Du musst die Ausgabe ganz lesen! Im Plot siehst du die beiden Koordinatenachsen.

Unter der Annahme, dass z>0 (also auromatisch reelle und grösser als 0) ist, ist die Aussage immer wahr.

Wenn der Realteil von z grösser oder kleiner als 0 ist, muss der Imaginärteil von z 0 sein. Das gibt schon fast die ganze reelle Achse.

Wenn der Realteil von z gleich 0 ist, kann der Imaginärteil beliebig sein. Ergibt imaginäre Achse inkl. fbusher ehlenden Punkt der reellen Achse. 

Answer 2

für z = a+bi ist  Im ( 1 + z^2 ) = a*b

und das ist nur 0, wenn a = 0 oder b=0

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Im ( 1 + z² ) = 2*a*b